[其他] 離散 計數問題

看板Math作者 (愛在雨過天晴時)時間6年前 (2019/07/25 22:41), 6年前編輯推噓8(8推 0噓 48→)
留言56則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/il1dJVH.jpg
關於此題之(C)選項 想說寫一個完整證明 (資工，沒寫過數學證明) 想請大大幫我看，如下圖證明是否完整? https://i.imgur.com/jEjbEDA.jpg
我的思路是: 利用子嘉老師書中用過的對角線論證法 然後將所有如題的所有實數令為A集合 再將A中的所有元素做編號 重點來了，必須令一函數，證明為一對一且映成的關係 因此我令一函數f(x,y) = k，而 k 即為編號，證明函數值k與A中之元素有一對一之關係 => 得 A ~ (Z^+ * Z^+) ~ Z^+ 觀念有誤懇請糾正 詳細如圖 字醜請見諒 懇請大大指教 希望嚴謹一點 大考才不會漏了細微之處 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.178.198 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1564065690.A.F09.html ※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/25/2019 22:46:36
推
07/25 22:51, 6年前 , 1F
你的函數可能設錯，我代f(x，y)=k x=2 y=3 k=11.111
07/25 22:51, 1F
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07/25 22:52, 6年前 , 2F
用你的公式是sigma n n從1到2+3-1+(3+1)，不合
07/25 22:52, 2F
如文中圖之列表，a_23之編號為14，也就是f(2,3) = 14 套我原本寫的sigma公式，x=2，y=3代入 (n從 1 加到 2+3-1) ((4*5)/2) + 3 + 1 = 14 應該是無誤(? 順道一提，我寫的有誤 ((sigma n) n從1加到x+y-1)+y+1
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07/25 22:52, 6年前 , 3F
我會這樣設，將11.111映至99.999， 99999.9映至
07/25 22:52, 3F
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07/25 22:53, 6年前 , 4F
11111.1 f(x)=9x 是1-1and onto 而每個9999...999
07/25 22:53, 4F
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07/25 22:55, 6年前 , 5F
小數點9999是 10^n-1+(1-10^(-m))存在m、n為0或
07/25 22:55, 5F
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07/25 22:55, 6年前 , 6F
正整數
07/25 22:55, 6F
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07/25 22:56, 6年前 , 7F
個數為Z+*Z+。你想法對，函數錯
07/25 22:56, 7F
感謝c大提供意見 感覺改成你給的函數，才能簡單地完整考慮到所有對應的元素包含在裡面
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07/25 23:02, 6年前 , 8F
不用寫成k，直接保留aij->(i,j) <-這就是Z+*Z+元素
07/25 23:02, 8F
的確會怪怪的，因為原本是假設a_ij屬於A集合 而A集合內的元素為題目所要求的實數 我的目的是 令一個函數f(x,y)，讓函數值為其所對應編號(Z^+) 而非實數 感覺我的函數有一點弄巧成拙 晚點更正c大給的想法再貼上來
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07/25 23:03, 6年前 , 9F
頂多把ij各加1防止算到0而已
07/25 23:03, 9F
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07/25 23:07, 6年前 , 10F
你要證明的其實是你這樣寫成aij是不是真的全都在裡
07/25 23:07, 10F
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07/25 23:08, 6年前 , 11F
面，剩下的都是你已經知道的定理了
07/25 23:08, 11F
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07/25 23:09, 6年前 , 12F
對角線證法其實就是講(Z+,Z+)~Z+這件事而已
07/25 23:09, 12F
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07/25 23:09, 6年前 , 13F
所以沒必要再寫一次
07/25 23:09, 13F
推
07/25 23:13, 6年前 , 14F
推rice大,更正我的m n不會有0情形。
07/25 23:13, 14F
推
07/25 23:15, 6年前 , 15F
m可以0，n不可以
07/25 23:15, 15F
推
07/25 23:28, 6年前 , 16F
要留一行給1.11...=10/9這種用。
07/25 23:28, 16F
請問目的為何呢? ※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/25/2019 23:55:49
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07/25 23:34, 6年前 , 17F
不太確定這種狀況有沒有必要考慮跟無限位有關的實數
07/25 23:34, 17F
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07/25 23:35, 6年前 , 18F
感覺如果考慮的話，那所有循環小數也要考慮了吧？
07/25 23:35, 18F
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07/25 23:37, 6年前 , 19F
如果真要這樣的話，直接說所有循環小數都是有理數，
07/25 23:37, 19F
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07/25 23:38, 6年前 , 20F
不過這樣好像就沒證明這題的意義了，因為都是循環小
07/25 23:38, 20F
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07/25 23:38, 6年前 , 21F
數
07/25 23:38, 21F
推
07/25 23:39, 6年前 , 22F
就算考慮循環小數，循環小數必定為分
07/25 23:39, 22F
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07/25 23:39, 6年前 , 23F
數，分數可數，一樣成立。
07/25 23:39, 23F
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07/26 00:09, 6年前 , 24F
所以你的意思就是現在你只是打算重寫一次(Z,Z)->Z
07/26 00:09, 24F
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07/26 00:09, 6年前 , 25F
這個對角論法的證明而已？
07/26 00:09, 25F
推
07/26 00:26, 6年前 , 26F
我還以為是Cantor 老師的證法
07/26 00:26, 26F
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07/26 00:27, 6年前 , 27F
應該說，c大的證法不是你的對角線證法，你自己寫的
07/26 00:27, 27F
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07/26 00:28, 6年前 , 28F
那函數才是那方法的主旨
07/26 00:28, 28F
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07/26 00:29, 6年前 , 29F
想請教，若以原本我假設的函數，以及對應方式
07/26 00:29, 29F
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07/26 00:31, 6年前 , 30F
要如何證明 我所寫成aij已經全都包含在裡面了 ?
07/26 00:31, 30F
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 00:32:09
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07/26 00:33, 6年前 , 31F
c大的證明一樣沒有說明全都在裡面啊，這是另一回事
07/26 00:33, 31F
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07/26 00:33, 6年前 , 32F
只是實際上你就說根據題目實數的構造方式，{aij}
07/26 00:33, 32F
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07/26 00:34, 6年前 , 33F
就是所有題目說的實數，這樣就夠了，因為這是真的
07/26 00:34, 33F
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07/26 00:34, 6年前 , 34F
沒什麼好證的
07/26 00:34, 34F
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07/26 00:39, 6年前 , 35F
當然如果要考慮無限位的話是需要再說
07/26 00:39, 35F
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07/26 00:40, 6年前 , 36F
簡單來說，我的意思是你現在寫的證明是Z*Z~Z的部份
07/26 00:40, 36F
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07/26 00:41, 6年前 , 37F
可是這算是定理的部份，而A~Z*Z才是你該證的東西
07/26 00:41, 37F
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07/26 00:42, 6年前 , 38F
只是對這題來說aij可以用很自然的方法得到
07/26 00:42, 38F
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07/26 00:43, 6年前 , 39F
也就是你寫的以小數點前後做分界寫成a_ij，頂多把j
07/26 00:43, 39F
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07/26 00:44, 6年前 , 40F
再加個1 之後就是套定理就好
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07/26 00:59, 6年前 , 41F
補充幫忙回答一下，V大的意思是就是會無窮大，所以
07/26 00:59, 41F
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07/26 01:00, 6年前 , 42F
會沒辦法出現普通的aij裡面
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07/26 01:00, 6年前 , 43F
i或j會無窮大
07/26 01:00, 43F
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07/26 01:07, 6年前 , 44F
我發現循環小數那邊是我想太多想錯，誤以為有0
07/26 01:07, 44F
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07/26 01:08, 6年前 , 45F
那這樣狀況會只剩一類，考慮進去就不會差多少了
07/26 01:08, 45F
由1所組成的所有實數 實數包含整數和有理數及無理數 若要符合題目要求，就包含了整數和有理數 而整數和有理數又包含正和負 ~ 感謝R大告訴我證明這類的證明題 必須把題目所要求的都考慮進去 不過這題好像是簡答題，題目給的條件不適合拿來做嚴謹的證明XD 後續有不懂的證明問題在來板上求教 感謝你們 https://i.imgur.com/Lk0Gdtn.jpg
大概整理一下XD ※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 02:28:25 ※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 02:30:12
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07/26 02:31, 6年前 , 46F
其實V大說的方式就是不用用到這麼強的方式就能解決
07/26 02:31, 46F
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07/26 02:32, 6年前 , 47F
以原本我們的假設來說，因為對每個i，都只有一種無
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07/26 02:32, 6年前 , 48F
窮小數，所以我們可以選擇把這個無窮小數拉到第一格
07/26 02:32, 48F
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07/26 02:33, 6年前 , 49F
，後面都往後一格，這樣就能只用這論證證明可數
07/26 02:33, 49F
明白了，也就是說在使用對角論證時，一併把這類的無窮小數都納入考慮(直接列在第一列，其餘往後一列)
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07/26 02:39, 6年前 , 50F
不過我也真的忘記考慮負數了...
07/26 02:39, 50F
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 10:02:44
推
07/26 10:11, 6年前 , 51F
我看懂你原本證明， 應該是OK的。這個證明手法是
07/26 10:11, 51F
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07/26 10:12, 6年前 , 52F
康托證明有理數可數的技巧
07/26 10:12, 52F
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07/26 10:14, 6年前 , 53F
https://reurl.cc/vYvXy 這個不叫對角線證法
07/26 10:14, 53F
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07/26 10:15, 6年前 , 54F
https://reurl.cc/Ex6a0 這個才叫對角線證法
07/26 10:15, 54F
推
07/26 10:23, 6年前 , 55F
原題就是說111.1111映至 4/3 1.1映至 1/1
07/26 10:23, 55F
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07/26 10:24, 6年前 , 56F
i個1小數點j個1映至 j/i 就是你的證法
07/26 10:24, 56F
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