[線代] Quadratic Form 的一個敘述的證明

看板Math作者 (希布凜)時間6年前 (2019/07/03 15:30), 6年前編輯推噓4(4推 0噓 6→)
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我問題的來源是 維基的 Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares 裡面的 Lagrange's Proof through quadratic form 的這個條目 如下圖畫黃線的地方 https://imgur.com/qxO5zqA
我感覺這個陳述有點奇怪 例如說 2x^2 + 2xy + y^2 也是 b^2-4ac = -4 但是他的矩陣的特徵值跟 x^2 + y^2 根本不一樣 連相似都沒有，更別說有整係數的特徵向量了... 可是後段 sums of two squares 的證明又依賴在這個陳述上 請求各位大神指教，謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.249.200 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1562139012.A.BFC.html
推
07/03 16:51, 6年前 , 1F
但 x=x',y=y'-x' 代入 2x^2+2xy+y^2 可得 x'^2+y'^2
07/03 16:51, 1F
推
07/03 16:53, 6年前 , 2F
equivalent不是相似。
07/03 16:53, 2F
→
07/03 16:56, 6年前 , 3F
A 與 B 等價，意思是有一個 SL(2,Z) 的 Q 讓 A=Q'BQ
07/03 16:56, 3F
推
07/03 16:58, 6年前 , 4F
以我舉的代換為例就是
07/03 16:58, 4F
→
07/03 16:58, 6年前 , 5F
[1 0] = [1 -1] [2 1] [1 0]
07/03 16:58, 5F
→
07/03 16:58, 6年前 , 6F
[0 1] [0 1] [1 1] [-1 1]
07/03 16:58, 6F
→
07/03 16:58, 6年前 , 7F
A = Q' B Q
07/03 16:58, 7F
原來我把這跟正交對角化的概念搞混了... 那黃線的那段敘述大概要怎麼證明啊 ? ※ 編輯: shiburin (140.112.249.200 臺灣), 07/03/2019 19:29:50
推
07/04 05:34, 6年前 , 8F
現代有矩陣理論了可以直接對 A=Q'BQ 兩邊取行列式
07/04 05:34, 8F
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07/04 05:35, 6年前 , 9F
A B 這邊的對稱矩陣其行列式乘以 -4 等於原式判別式
07/04 05:35, 9F
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07/04 05:35, 6年前 , 10F
如果單只要證 -4 這一族的話應該可以代數硬上?
07/04 05:35, 10F
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