[代數] 多項式分解存在性的問題

看板Math作者 (希布凜)時間6年前 (2019/06/06 14:51), 6年前編輯推噓4(4推 0噓 16→)
留言20則, 2人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
我想問的是 [ factorial ring 的多項式也是 factorial ] 證明裡的一步 一般課本的證明會移到 quotient field 上去證明 但是我想問的是 在原本的 ring (因為是 integral) 上不是也有 deg (fg) = deg(f) + deg(g) 的性質嗎? 這個不是可以用來說明多項式分解成 irreducible 的多項式可以分解成有限項嗎? 為什麼還要特別跑到 quotient field 上去引用 field 多項式分解的存在性呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.7.185 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1559803902.A.BC5.html
推
06/06 15:44, 6年前 , 1F
不是存在性的問題，是唯一性。不分解也是一種分解。
06/06 15:44, 1F
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06/06 15:44, 6年前 , 2F
然後 ring 不一定能定義 deg。
06/06 15:44, 2F
我不太懂不分解也是分解是什麼意思 還有我記得 factorial 定義裡有 integral domain 這樣應該可以定義 deg 吧? 明確一點，我是想問除了一些從多項式裡提出來的係數需要用到唯一分解 多項式本身的分解可以下圖這樣說明就可以了吧? https://imgur.com/Hi4xwie
※ 編輯: shiburin (140.112.7.185 臺灣), 06/06/2019 16:00:21
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06/06 17:15, 6年前 , 3F
因為factorial ring = unique factorization doma
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in 吧 重點是唯一分解
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所以只有證明分解不行 要證明分解只有一種
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Z 是一個 integral domain，deg(100)=?
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06/06 20:08, 6年前 , 7F
舉個例子 設c=sqrt(-5) 則 R = Q[c] 不唯一分解 6
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06/06 20:08, 6年前 , 8F
= (2)(3) = (1+c)(1-c) 此時多項式 R[x] 也不會唯
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一分解
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反例 6x^2+(1+5c)x+(-7+c)
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06/06 20:09, 6年前 , 11F
=(3x+2+c)(2x-1+c)
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06/06 20:09, 6年前 , 12F
=((1-c)x+2+c)((1+c)x-1+c)
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06/06 20:10, 6年前 , 13F
所以光只是分解不行 還要說明分解是唯一的 field的
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多項式是ED 所以當然唯一分解 這就是為什麼要搬過
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06/06 20:10, 6年前 , 15F
去用的理由
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推
06/06 20:12, 6年前 , 16F
啊我的反例是錯的XD 那不是反例 算了www
06/06 20:12, 16F
推
06/06 20:16, 6年前 , 17F
啊啊 其實 6=(2)(3) 本身就是R[x] 反例了
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06/06 20:16, 6年前 , 18F
這樣的話我的反例還是反例 但多此一舉就是
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推
06/06 20:52, 6年前 , 19F
Q要換成Z吧。
06/06 20:52, 19F
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06/06 22:21, 6年前 , 20F
對 搞錯了qw q
06/06 22:21, 20F
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文章代碼(AID): #1S-BV-l5 (Math)
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