Re: [代數] 請求詳細的過程
※ 引述《triumphant10 (Look-three-small)》之銘言：
: 大家好
: 這裡有幾題想問各位
: 1. which can not be the number of elements of a Galois field ?
: a) 21 b)23 c)25 d)27 ANS: a)
哪個數字的質因數不只一個
: 2. how many irreducible polynomials of degree 9 over GF2.
: a) 53 b)55 c)57 d)59 e) none of the above ANS: e)
degree 1 or 3 or 9 的元素有 2^9 - 1 = 511 個
degree 1 or 3 的元素有 2^3 - 1 = 7 個
因此 degree 9 的元素有 504 個，irr. 多項式則有 56 個
: 3. Suppose a belongs to GF8 is a root of x^3 + x + 1.
: whose minimal polynomial is x^3 + x +1 ?
: a) a^2 b) a^3 + a^2 c) a^4 d) a^4 + a^2 ANS: b)
題目搞錯了，要問誰不是 (或是多項式改成 x^3 + x^2 + 1)
首先，無論 a 的最小多項式是什麼
a, a^2, a^4, a^8, a^16, ... 一定是同一個最小多項式的根
由此可知 a), c) 一定也是 x^3 + x + 1 的一根
接著由於 a^3 = a + 1, 因此 a^4 + a^2 = a 當然是 x^3 + x + 1 的一根
: 4. which ideal is not the same as principal ideal of <6> in Z ?
: a) <-6,42> b) <36,48> c) <18,-24> d) <30,60,72> ANS: b)
: 謝謝!
哪一組數的公因數不是 6
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嗯嗯ow o
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.24
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04/27 21:39,
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若 p 是質數，則 GF(p^e) 的特徵值是 p
此時 Frobenius map 是 f: GF(p^e) -> GF(p^e), f(a) = a^p
(ab)^p = a^p b^p
(a+b)^p = a^p + sum C(p, i) a^(p-i) b^i + b^p = a^p + b^p
因此 f 保持加法和乘法(endomorphism)
事實上 f(a) = 0 -> a = 0, 因此是(automorphism)
現在如果 a 是 GF(p)-多項式 g(x) = sum c_i x_i 的一根
注意因為 c_i 是 GF(p) 的元素，因此 (c_i)^p = c_i
則 g(a^p) = sum c_i (a^p)^i = sum (c_i)^p (a^i)^p
= (sum c_i a^i)^p = 0^p = 0
因此 a^p 也是 g(x) 的一根
實際上可以證明，若 a 是 irr. GF(p)-多項式 g(x) 的一根
(1) g(x) 的次數是 d > 0
(2) a^(p^d) = a
且 a, a^p, a^(p^2), ..., a^(p^(d-1)) 恰為 g(x) 的 d 個相異根
最近剛好有用到，所以記得非常清楚
※ 編輯: Desperato (140.112.25.24), 04/27/2019 23:04:51
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04/27 23:32,
6年前
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