大約來說 Z_n 幾乎就是 "取餘數" 了
但是由於定義嚴格上來說還是不一樣的 具體詢問前先把符號給一給:
【Z_n】
任給正整數n,定義Z_n := {[a]:a€Z}, where [a] = {b€Z:n│a-b}
則 (1) Z_n = {[0], [1], ..., [n-1]}
(2) 可定義加法 ┼ 為 [a]┼[b] := [a+b] ---- (★)
可定義乘法 Ⅹ 為 [a]Ⅹ[b] := [a*b]
【mod n】
任給正整數n,定義函數 %_n:Z→Z 為 %_n(a) := a除以n的餘數
則可證明 %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) --- (●)
可證明 %_n(a*b) = %_n(%_n(a)*%_n(b))
【問題】
整體來說,疑惑有兩個:
(1) [] 比 %_n 乾淨就只是差在因為定義了[]的運算所以可以簡化%_n算式?
(2) a = [a] = [[a]] = %_n(a) 這些如果狂混用都不會錯...想找個合理解釋
-------------------------- 來由如下 -------------------------
(1) 以加法為例,對(●)左右同取equvalence class的話,過程如下:
[%_n(a+b)] = [%_n(%_n(a)+%_n(b))]
=> [a+b] = [%_n(a)+%_n(b)] ... 因為 [a] = [%_n(a)] obviously
= [%_n(a)] + [%_n(b)] ... (★)的定義
= [a] + [b]
雖然不意外的回到了 [a] + [b] = [a+b]
但是我怎麼有種:(i) 從(●)的證明結果推論到(★)的定義的感覺
雖然整個邏輯沒有錯,但是無法描述心中那股怪怪的感覺
(ii) equvalence class 跟 %_n 比較起來就只給我一種
幫忙去除最外層的%_n的功用而已
(先不論[a]可以推得各種代數性質,單純比較[a]與%_n)
(2) 會問這些問題源自於比較下列三個方法的計算:
y = %_n(ax+b)
z = %_n(ay+b)
比較三個方法化簡z
【mod】
z = %_n(ay+b)
= %_n( %_n(ay) + %_n(b) )
= %_n( %_n(%_n(a)*%_n(y)) + %_n(b) )
= %_n( %_n(%_n(a)*%_n(ax+b)) + %_n(b) )
= %_n( %_n(a*(ax+b)) + %_n(b) )
= %_n( a*(ax+b) + b ) ... by(●)
【equivalence class】
z = %_n(ay+b)
=> [z] = [%_n(ay+b)]
= [ay+b]
= [a][y] + [b]
= [a][%_n(ax+b)] + [b]
= [a][ax+b] + [b]
= [a*(ax+b) + b]
= [%_n(a*(ax+b) + b)]
=> z = %_n(a*(ax+b) + b) ... 因為 0 =< z <= n-1
【把a跟[a]跟%_n(a)混用】
z = %_n(ay+b)
= [ay+b] ... 把%_n(m) 當作[m]
= [a*%_n(ax+b) + b]
= [a*[ax+b] + b] ...把%_n(m) 當作[m]
注意到 a€Z、[ax+b]€Z_n 不同集合,但是把a*[ax+b]當成可以乘[a*(ax+b)]也對
= [[a*(ax+b)] + b]
= [a*(ax+b) + b]
一堆混用然後得到對的答案,但是並非湊巧
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不知道怎麼說這種感覺XDDD
雖是雖然知道 a, [a], %_n(a), [[a]] 彼此嚴格定義的差異,真的是不一樣
但是是基於怎樣的原因導致混用或是說他們一樣都沒有關係
當然我可以造一個1-1 onto函數說他們一樣
想聽聽有遇過這問題的板友們的想法 謝謝~
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謝謝D大跟V大的回覆 我先把mod改成%_n 想表達的就是取餘數
再來是綜合你們的回覆想再請問一下:
(1) Z_n 不是完全就是 quotient ring嗎?
define a~b iff %_n(a) = %_n(b) (也等價於 n│a-b)
則定義 Z_n := Z/~ = {[a]:a€Z},收集那些同餘的集合,就是equivalence class
(2) 我知道φ:Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism
也知道θ:{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應
其中 {0,...,n-1} 就只是V大說的太狹隘 只取餘數沒有代數結構的集合
但我心中難以解釋的點在於
在沒有引入代數結構下 → %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) 可直接證明
在引入代數結構下 → 在定義[a]┼[b] := [a+b]後
計算上就能取代掉%_n或是與%_n混用
所以脈絡就是:因為 1. %_n 可以幫助我們定義等價類
2. Z上的加法跟乘法可以幫助這些等價類形成Z/~
所以 [a]跟%_n(a)就可以混用(?
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總結一下,我想表達的是:
我知道用 Z_n VS %_n 的每個步驟的嚴格差別
我知道混用在邏輯上是錯的
但是 我前天導個式子狂使用了 [a[ax+b] + b] = [a[ax+b]] + [b]
= [a][ax+b] + [b]
= [a(ax+b)] + [b]
= [a(ax+b) + b]
洗澡時驚覺我怎麼拿Z跟Z_n的元素混著做運算??
驚嚇後,從頭改成嚴格的運算,Z只能跟Z、Z_n只能跟Z_n
雖然混用結果是對的,但是就是想給自己一個混用也可以的理由
而目前想出的三個理由都讓覺得沒那麼說服我
(1) 因為 φ:Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism
所以 所以Z跟Z_n可以混用
(2) 因為 θ:{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應
所以 所以Z跟Z_n可以混用
(3) 因為 [a] 是由%_n定義來的而且 剛好 [a] 可以簡化 %_n 的計算
所以 所以Z跟Z_n可以混用
如果理由就是這些,只是個人接受度的問題,那我就OK
所以我才比較好奇板友們對於這件事的看法是什麼
想看是否有其他我能參考的說法
謝謝~~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:21:03
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:22:26
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這解釋有感覺~~謝謝V大~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 14:03:47
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