[線代] 一題線代請教

看板Math作者 (萊恩)時間6年前 (2019/02/21 17:28), 6年前編輯推噓1(1推 0噓 15→)
留言16則, 4人參與, 6年前最新討論串1/1
各位版友好，想請教一題線代 題目： [ w1w1 w1w2 w1w3 w1w4] Let w_i € R, 1≦i≦4, and A = [ w2w1 w2w2 w2w3 w2w4] [ w3w1 w3w2 w3w3 w3w4] [ w4w1 w4w2 w4w3 w4w4] with w1^2 + w2^2 + w3^2 + w4^2 = 1. (a) Find all eigenvalues of A and its algebraic multiplicity. (b) Calculate det(I_4 - 2A). 題目中為了排版方便，w_i我都簡寫成wi了，還請見諒 目前我的想法只到令 x = [w1 w2 w3 w4]^t 則 A = xx^t ，且||x|| = 1，然後就沒頭緒了... 想請問接下來怎麼做@@ 謝謝各位 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.174.89.46 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1550741331.A.07F.html
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02/21 17:30, 6年前 , 1F
one rank matrix
02/21 17:30, 1F
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02/21 17:31, 6年前 , 2F
呃...rank-one matrix
02/21 17:31, 2F
※ 編輯: wayne0824 (1.174.89.46), 02/21/2019 17:32:08
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02/21 17:31, 6年前 , 3F
A應該是x x^t
02/21 17:31, 3F
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02/21 17:32, 6年前 , 4F
不好意思，已修改文章@@
02/21 17:32, 4F
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02/21 17:38, 6年前 , 5F
首先x明顯是一個特徵向量，而其他的特徵向量就是
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02/21 17:39, 6年前 , 6F
跟x正交的向量，也就是span(x)的正交補餘的基底
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02/21 17:39, 6年前 , 7F
所以總共是一個1，三個0
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02/21 18:26, 6年前 , 8F
先看出rank=1 得知至少3個0
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02/21 18:27, 6年前 , 9F
再從trace知道最後一個是1
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02/21 18:27, 6年前 , 10F
第二題用det=eigenvalue相乘即可
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推
02/21 20:58, 6年前 , 11F
rank(A)=1 implies Nullity(A)=3 ，得到三個獨立且
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02/21 20:58, 6年前 , 12F
特徵值為0的向量(特徵向量)，然後再加上原本的x就
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02/21 20:58, 6年前 , 13F
可以對角化，用上面這些資訊就解完了，這樣說對不
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02/21 20:58, 6年前 , 14F
對？
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02/22 00:05, 6年前 , 15F
不好意思，第二題還是不懂@@det(I-2A)怎麼算
02/22 00:05, 15F
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02/22 00:18, 6年前 , 16F
你也可以選擇先把2A對角化
02/22 00:18, 16F
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