[線代] fitting lemma 疑問

看板Math作者 (R7)時間5年前 (2019/02/12 06:33), 5年前編輯推噓4(4推 0噓 9→)
留言13則, 5人參與, 5年前最新討論串1/1
已知必然的結果是 N(A) R(A^t) 形成直和 和 A=A^t 時 N(A) 和 R(A) 形成直和 這個引理說 必存在k 使 R(A^k) N(A^k) 形成直和 在nilpotent 時 A^k = O 是沒問題 我的疑問是 1. 不是nilpotent 時 引理也成立 意思是 A^k 達到k次方時會達到對稱嗎？ 若不會對稱的話 有非對稱非nilpotent且型成直和的例子嗎 2. 若存在這樣的例子 N(A) R(A)形成直和 iff A=A^t 這句話是對的嗎 感謝各位 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.9.71.206 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1549924407.A.2A7.html ※ 編輯: magic83v (39.9.71.206), 02/12/2019 06:41:29
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02/12 07:14, 5年前 , 1F
基本上，只要non-singular的矩陣都可以
02/12 07:14, 1F
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02/12 07:22, 5年前 , 2F
我應該說invertible
02/12 07:22, 2F
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02/12 08:21, 5年前 , 3F
1和2是同一個問題吧 反例就樓上的例子
02/12 08:21, 3F
耍蠢了！感謝兩位 可逆的時候N(A)=0 一定和R(A)直和 那我新的問題如下： 所以可以分成3個case 1.可逆 N(A)=0 2.nilpotent R(A^k)=0 3.對稱 R(A),N(A) 皆非0 形成直和 只有這三個case嗎？ 還有沒有別的case 存在R(A^k),N(A^k)直和 且皆非0空間的例子？ ※ 編輯: magic83v (39.10.234.14), 02/12/2019 09:47:48
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02/12 09:50, 5年前 , 4F
寫成Jordan form 就都清楚了吧
02/12 09:50, 4F
感謝 一直用2維的矩陣try 難怪觀察不出來！ 但是為何可以用jordan form說明其他的例子 化成jordan form 行空間列空間都被改變了 這點卡卡的
推
02/12 12:59, 5年前 , 5F
1和2的 direct sum 顯然符合例子
02/12 12:59, 5F
推
02/12 13:24, 5年前 , 6F
因為R(A^k)和N(A^k)都會停下來啊。
02/12 13:24, 6F
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02/12 13:25, 5年前 , 7F
R(A^k)一直變小，N(A^k)一直變大，但都會停。
02/12 13:25, 7F
這個我知道 我在好奇 停下來的時候 矩陣本身有沒有什麼特徵 對稱orJordan型 之類 ※ 編輯: magic83v (110.26.201.69), 02/12/2019 14:23:34
推
02/12 14:33, 5年前 , 8F
Jordan form 會改變空間 但不改變rank
02/12 14:33, 8F
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02/12 14:34, 5年前 , 9F
R(A^k) 停下來 <==> A^k 的 rank 固定
02/12 14:34, 9F
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02/12 14:34, 5年前 , 10F
那 Jordan form 的 power 什麼時候會停下來呢
02/12 14:34, 10F
推
02/12 14:34, 5年前 , 11F
沒有啊。那條short exact seq.就是splitted。
02/12 14:34, 11F
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02/12 14:35, 5年前 , 12F
當然就是 eigenvalue 為 0 的 block 都消失的時候
02/12 14:35, 12F
感謝兩位 大概瞭解jordan form解釋這個問題的概念了 我再自己找找看幾個其他的例子試試看！ ※ 編輯: magic83v (110.26.201.69), 02/12/2019 14:51:10
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02/13 12:57, 5年前 , 13F
Fitting 是人名
02/13 12:57, 13F
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