[線代] 矩陣相乘的rank

看板Math作者 (We’re living louder)時間7年前 (2019/01/16 21:42), 7年前編輯推噓1(1推 0噓 19→)
留言20則, 3人參與, 7年前最新討論串1/1
以往我看到這種題目都是先計算nullspace，再利用rank-nullity theorem計算rank 但是這題就不知道該如何下手了，目前已知A的rank是3，B的rank是5，也就是說B為full row rank，那請問(b)選項的rank(AB)該如何計算呢？ https://i.imgur.com/S1L9Gdw.jpg
謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.57.99.140 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1547646148.A.307.html ※ 編輯: LivingLouder (61.57.99.140), 01/16/2019 21:43:06
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01/16 22:04, 7年前 , 1F
一時之間我只想得到對任意x屬於R^5都有y屬於R^7
01/16 22:04, 1F
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01/16 22:04, 7年前 , 2F
使By=x，所以CS(AB) = CS(A)
01/16 22:04, 2F
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01/16 22:38, 7年前 , 3F
CS(A)<=CS(ABBt)<=CS(AB)<=CS(A) 所以CS(AB)=CS(A)
01/16 22:38, 3F
有點難理解QQ，請問"<="是什麼意思
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01/16 22:38, 7年前 , 4F
不過這樣感覺還是有點長
01/16 22:38, 4F
推
01/16 22:56, 7年前 , 5F
rank = dim of image
01/16 22:56, 5F
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01/16 22:57, 7年前 , 6F
B是full rank，所以整個R^5都是B的image
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01/16 22:58, 7年前 , 7F
然後A把整個R^5送到dim = 3的子空間
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01/16 22:58, 7年前 , 8F
所以rank(AB) = 3
01/16 22:58, 8F
如果照這個想法來看的話，rank=最後一個image的dimension嗎，也就是最左邊矩陣的ran k? ※ 編輯: LivingLouder (39.9.234.85), 01/17/2019 00:17:26
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01/17 00:18, 7年前 , 9F
包含於
01/17 00:18, 9F
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01/17 00:18, 7年前 , 10F
不會等於最後一個image，是因為full rank才這樣
01/17 00:18, 10F
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01/17 00:20, 7年前 , 11F
我推文上半的方法就是w大的方法，下半的方法是覺得
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01/17 00:21, 7年前 , 12F
寫向量有點不太空間，所以硬是只用矩陣空間寫
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01/17 00:22, 7年前 , 13F
特別弄出BBt是因為這樣矩陣是可逆的
01/17 00:22, 13F
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01/17 00:29, 7年前 , 14F
為何CS(A)會包含於CS(ABBt)
01/17 00:29, 14F
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01/17 00:34, 7年前 , 15F
就是因為BBt是可逆的，CS(ABBt(BBt)^-1)<=CS(ABBt)
01/17 00:34, 15F
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01/17 00:52, 7年前 , 16F
01/17 00:52, 16F
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01/17 00:52, 7年前 , 17F
可以這樣證明嗎
01/17 00:52, 17F
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01/17 01:15, 7年前 , 18F
是可以啦，不過寫向量的話就不用矩陣，像上面那樣
01/17 01:15, 18F
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01/17 01:15, 7年前 , 19F
敘述就可以了
01/17 01:15, 19F
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01/17 01:28, 7年前 , 20F
我沒有學過那種表示方式，好難聯想到QQ
01/17 01:28, 20F
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