Re: [微積] Frobenius 級數解

看板Math作者Desperato (Farewell)時間7年前 (2019/01/07 20:18)推噓6(6推 0噓 9→)

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※ 引述《ypeng0308 (Ding-YU)》之銘言： : https://imgur.com/a/GVGAWru : 想請問此題的y2該如何解 : 我知道要降階法令y2=uy1 : 但後面要積分時會卡一項有sigma : 不知道該如何進行先說結論，我也沒解出來orz 嗯我也搞不清楚XD 我的微方不很好總之照算一次就知道了吧 z y'' + (2z-3) y' + (4/z) y = 0 (我發現我不會算 y1, 所以跳過XD) 2 3 inf n n+1 n+2 嗯總之 y = z - 4z + sum (-2) (---) z 1 n=2 n! 令 y = u y 2 1 則 z (u''y + 2u'y' + uy'') + (2z-3) (u'y + uy') + (4/z) uy = 0 1 1 1 1 1 1 z (u''y + 2u'y') + (2z-3) (u'y ) = 0, 令 v = u' 1 1 1 (zy ) v' + (2zy' + (2z-3)y ) v = 0 1 1 1 y1' 2z-3 y1' 3 v' + (2 --- + ----) v = 0, P = 2 --- + 2 - --- y1 z y1 z int P dz = 2 log(y1) + 2z - 3 log(z) y1^2 e^(2z) I = exp(int P dz) = ------------- z^3 z^3 I v' + I' v = 0, I v = c, v = ----------- (取 c = 1) y1^2 e^(2z) 好，到這裡大概就卡住了因為 y1 放分母還積分簡直有病然後我就把原式往 wolframalpha 丟，得到答案是 -2z 2 2z -2z 2 y = c e z ((1-2z)Ei(2z) + e ) + c e (2z-1) z 2 1 ^^^^^^^^^^^^^^ ...嗯，怎麼好像有個 elementary function XD 所以這是 y1 的鍋吧XD 2 3 inf n n+1 n+2 y = z - 4z + sum (-2) (---) z 1 n=2 n! y_1 inf n n+1 n --- = 1 - 4z + sum (-2) (---) z z^2 n=2 n! y_1 2 inf n 1 n+1 I(---) = c + z - 2z + sum (-2) (---) z I 是積分 z^2 n=2 n! y_1 2 inf 1 n I(---) = c + z - 2z + z sum (---) (-2z) z^2 n=2 n! y_1 2 -2z -2z 1 I(---) = c + z - 2z + z ( e - --- - --- ) z^2 1! 0! y_1 -2z I(---) = c + z e z^2 y_1 -2z -2z --- = e - 2z e z^2 2 -2z y_1 = z (1-2z) e 可喜可賀XD 所以現在我們的 v 就應該是 z^3 z^3 e^(2z) v = ----------- = -------------------- = ------------ y1^2 e^(2z) z^4 (1-2z)^2 e^(-2z) z (1-2z)^2 然後再繼續解下去就會跑出 Ei 函數了XD ======================================================== 所以只好認真去 google Frobenius method http://msvlab.hre.ntou.edu.tw/grades/now/egmath1-b_2005/Frobenius%20method.pdf 好吧，所以 Frobenius 表示一定有個答案是 y = z^r (power series) 然後根據 r 的解答來看答案原式的 p(z) = 2z-3, q(z) = 4 因此 r(r-1) - 3r + 4 = 0, r = 2, 2 總之 case 2 推導出了 inf n+2 y = y ln(z) + sum b x = y ln(z) + b(z) 2 1 n=0 n 1 這代表其實可以拿這個代入原式啊(欸) 總之化簡完會變成 2 z b'' + z(2z-3)b' + 4b + (2zy' + (2z-4)y ) = 0 1 1 ...嗯，怎麼好像跟原本的式子差不多XD 原本的我就不會，這個我也不會啦(攤手) 不過反正級數拆一拆總是能做的吧(大概) -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.29 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1546863494.A.EAF.html

推

ypeng0308

01/07 21:40, 7年前 , 1^F

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ypeng0308

01/07 21:40, 7年前 , 2^F

01/07 21:40, 2^F

推

etyh3241698

01/07 22:52, 7年前 , 3^F

01/07 22:52, 3^F