[線代] orthogonal matrix 的問題

看板Math作者 (呦西呦西)時間7年前 (2018/11/13 13:46), 編輯推噓1(1推 0噓 19→)
留言20則, 3人參與, 7年前最新討論串1/1
我在課本上看到orthogonal matrix有一 個性質： if Q is an orthogonal matrix , then Q^tQ=I . 請問這個條件若反過來的話依然成立嗎？ if Q^tQ=I, then Q is an orthogonal matrix. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.7 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1542087977.A.C16.html
推
11/13 13:49, 7年前 , 1F
it is the definition of an orthogonal matrix
11/13 13:49, 1F
→
11/13 18:40, 7年前 , 2F
如果你是說用orthonormal vectors定義orthogonal
11/13 18:40, 2F
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11/13 18:40, 7年前 , 3F
matrix，那你就直接看每個向量會發生什麼
11/13 18:40, 3F
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11/13 18:40, 7年前 , 4F
(v^t)v就是內積
11/13 18:40, 4F
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11/13 18:44, 7年前 , 5F
不對，我上面只是左推右
11/13 18:44, 5F
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11/13 18:49, 7年前 , 6F
啊...其實一樣，就是直接看每個向量間的關係
11/13 18:49, 6F
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11/13 18:49, 7年前 , 7F
都是iff
11/13 18:49, 7F
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11/13 19:30, 7年前 , 8F
建議附上你書/講義上的定義 Q^tQ = QQ^t = I 本身
11/13 19:30, 8F
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11/13 19:31, 7年前 , 9F
就可以是一個orthognal matrix的定義
11/13 19:31, 9F
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11/13 19:32, 7年前 , 10F
我個人猜測你想要問的是:
11/13 19:32, 10F
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11/13 19:33, 7年前 , 11F
如果Q是一組R^n空間裡orthonormal basis 的行向量
11/13 19:33, 11F
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11/13 19:34, 7年前 , 12F
併成的n by n 矩陣，則Q^tQ = I 這件事。
11/13 19:34, 12F
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11/13 19:35, 7年前 , 13F
則反過來對不對 ?
11/13 19:35, 13F
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11/13 19:36, 7年前 , 14F
答案應該是肯定的，利用一個定理 :
11/13 19:36, 14F
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11/13 19:37, 7年前 , 15F
假設A = [a_1 a_2 ... a_n]，其中 a_i都是行向量
11/13 19:37, 15F
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11/13 19:38, 7年前 , 16F
BA = [b_1 b_2 ... b_n] b_n也都是行向量
11/13 19:38, 16F
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11/13 19:38, 7年前 , 17F
則b_i = Aa_i 。
11/13 19:38, 17F
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11/13 19:40, 7年前 , 18F
用這樣的方式可以得到 若一方陣A滿足A^tA = AA^t =I
11/13 19:40, 18F
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11/13 19:40, 7年前 , 19F
用上定理可得{a_i}恰好是一組orthonormal basis
11/13 19:40, 19F
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11/13 19:42, 7年前 , 20F
不好意思打錯 上面應該是b_i = Ba_i
11/13 19:42, 20F
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