[中學] 北一女105年 高一上 勘根定理

看板Math作者 (阿金大人)時間7年前 (2018/11/12 00:34), 編輯推噓11(11推 0噓 33→)
留言44則, 8人參與, 7年前最新討論串1/1
北一女105學年，上學期，高一第二次段考 第三大題，計算證明題 試判別 3x^5＋2x－4＝0 有幾個無理根，並說明原因。 在下只能找到在0-1之間有一個無理根存在， 但我不知道怎麼證明這個無理根是唯一的，它有沒有可能是重根呢？ 不知道要如何用高一的程度證明這一題。 請各位高手大大們給一些指導。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.150.26.232 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1541954085.A.4C9.html
推
11/12 00:40, 7年前 , 1F
嚴格遞增
11/12 00:40, 1F
推
11/12 01:25, 7年前 , 2F
x^5 and x are both increasing
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推
11/12 02:50, 7年前 , 3F
剩下重根的問題吧。用微積分可以簡單看出沒有重根。
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11/12 02:52, 7年前 , 4F
不用微積分的話，大概要用判別式(五根兩兩的差的平
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11/12 02:53, 7年前 , 5F
方積)了。
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11/12 04:31, 7年前 , 6F
明顯不可能五重根，所以考慮三重根，設為α
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11/12 04:32, 7年前 , 7F
則(x-α)^3必須整除原式，直接長除法可知商是
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11/12 04:33, 7年前 , 8F
3x^2+9αx+18α^2 -> x^2+3αx+6α^2
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11/12 04:34, 7年前 , 9F
此商必須均為虛根，判別式<0 -> α^2<0 矛盾
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11/12 04:39, 7年前 , 10F
也許用polynomial ring會有更容易看的結果？
11/12 04:39, 10F
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11/12 04:41, 7年前 , 11F
不對，我算錯了= =
11/12 04:41, 11F
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11/12 04:42, 7年前 , 12F
這樣算是α^2>0...沒變化
11/12 04:42, 12F
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11/12 04:45, 7年前 , 13F
不過這樣可以知道這兩虛根乘積為6α^2
11/12 04:45, 13F
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11/12 04:46, 7年前 , 14F
於是五根乘積為6α^5 所以代入不合
11/12 04:46, 14F
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11/12 04:59, 7年前 , 15F
直接看長除法最後餘數意思也一樣
11/12 04:59, 15F
推
11/12 05:53, 7年前 , 16F
二樓說完了 這是單調遞增函數 只可能有一個實根 用
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11/12 05:53, 7年前 , 17F
牛頓法確認是無理就好
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11/12 05:53, 7年前 , 18F
看到五次方程 如果看不到明顯因式分解就別試了 解這
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11/12 05:53, 7年前 , 19F
鬼東明顯不是高中範圍
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11/12 05:59, 7年前 , 20F
像(x-1)^5，這樣也嚴格遞增 怕的事情是有重根
11/12 05:59, 20F
推
11/12 06:10, 7年前 , 21F
所以加上x就不可能重根了
11/12 06:10, 21F
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11/12 06:17, 7年前 , 22F
呃...我不太懂加上x不可能重根要怎麼用高一解釋
11/12 06:17, 22F
推
11/12 06:23, 7年前 , 23F
可以 你的方法其實就對了 但只要確定(x-a)^2整除性
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11/12 06:23, 7年前 , 24F
就好了 最後除出來的結果 雖然不一定懂微積分 但形
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11/12 06:23, 7年前 , 25F
式肯定是f'(a)(x-a) +f(a)=0 然後觀察(x-a)的係數說
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11/12 06:23, 7年前 , 26F
一定不可能整除就好
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11/12 06:24, 7年前 , 27F
我知道我那方法其實跟用微積分的道理一樣
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11/12 06:25, 7年前 , 28F
只是再用高中寫法寫出
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11/12 06:25, 7年前 , 29F
再強調一下 這邊的f'並不是真的微分 只是長除法之後
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11/12 06:25, 7年前 , 30F
形式其實一模一樣
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11/12 06:29, 7年前 , 31F
但你說的對，這狀況只要平方就夠了，我就覺得
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11/12 06:30, 7年前 , 32F
應該有好一點的作法，因為中間空太多項了
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11/12 06:32, 7年前 , 33F
證明不可能有二次以上的解，我太糾結在因為有變號
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11/12 06:32, 7年前 , 34F
所以會有奇數個根上了
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推
11/12 06:32, 7年前 , 35F
這東西背後隱含的就是 多項式你用依序(x-a)^n長除法
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11/12 06:32, 7年前 , 36F
得到的就是跟泰勒展開式一模一樣的東西 所以幾乎所
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11/12 06:32, 7年前 , 37F
有你想用微積分解釋的多項式定理 都可以在定點用依
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11/12 06:32, 7年前 , 38F
序長除法關聯起來
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推
11/12 21:23, 7年前 , 39F
11/12 21:23, 39F
推
11/12 22:52, 7年前 , 40F
用綜合除法阿 除到正方向係數都正的 負方向是奇次正
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11/12 22:52, 7年前 , 41F
偶次負就好了
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推
11/12 23:24, 7年前 , 42F
算(x-a)的綜合除法，用這個算"f'(a)"很快。
11/12 23:24, 42F
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11/12 23:25, 7年前 , 43F
應該是15a^4+2，這個不是0。
11/12 23:25, 43F
推
11/13 09:36, 7年前 , 44F
北一女圖？
11/13 09:36, 44F
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