[中學] 高中數學資優考題

看板Math作者 (無尾熊)時間7年前 (2018/09/27 16:43), 編輯推噓3(3推 0噓 16→)
留言19則, 7人參與, 7年前最新討論串1/1
1！뜲！뜮...뜲00！共有200個數，去掉其中一個數之後，剩下199個數的連乘積是完全平 方數，請問去掉的這個數可能為？ 其中n！=1*2*...*n -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.165.112 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1538037815.A.0AF.html
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09/27 18:31, 7年前 , 1F
100! n!(n+1)!可以提出(n!)^2
09/27 18:31, 1F
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09/27 19:26, 7年前 , 2F
全乘開=2*100!*[(n+1)!]^2 提出100! 我哪算錯!!?
09/27 19:26, 2F
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09/27 19:27, 7年前 , 3F
上面[]內是 2n+1 n=0~99
09/27 19:27, 3F
推
09/27 19:43, 7年前 , 4F
兩兩一組最後會2^100*100！*A^2，所以拿掉100！
09/27 19:43, 4F
推
09/27 19:48, 7年前 , 5F
原式可以看成200個1、199個2、198個3...1個200相乘
09/27 19:48, 5F
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09/27 19:48, 7年前 , 6F
要使其為完全平方 就把偶數個的2 4 6 ... 200各提一
09/27 19:48, 6F
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09/27 19:49, 7年前 , 7F
個出來 提出2*4*6*200=2^100*100! 故100!要剃除
09/27 19:49, 7F
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09/27 19:50, 7年前 , 8F
修正 奇數個
09/27 19:50, 8F
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09/27 20:02, 7年前 , 9F
自己鬼打牆少^100次 難怪搞不出來
09/27 20:02, 9F
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09/27 22:18, 7年前 , 10F
謝謝大家的幫忙
09/27 22:18, 10F
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09/28 10:57, 7年前 , 11F
可以建構，但是怎麼知道是唯一可能的數?
09/28 10:57, 11F
推
09/28 14:54, 7年前 , 12F
樓上這麼一提我才發現, 100! 可以的話 99! 也行
09/28 14:54, 12F
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09/28 14:55, 7年前 , 13F
這兩個應該就是所有答案了
09/28 14:55, 13F
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09/28 14:55, 7年前 , 14F
證明的話首先上面已知 100! 為解
09/28 14:55, 14F
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09/28 14:57, 7年前 , 15F
若 n! 也為解則 n!/100! (或 100!/n!) 是平方數
09/28 14:57, 15F
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09/28 14:57, 7年前 , 16F
n>100 馬上撞到 101 所以沒了
09/28 14:57, 16F
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09/28 14:58, 7年前 , 17F
n<100 則往下有 97, 所以只要考慮 98! 和 99!
09/28 14:58, 17F
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09/28 14:58, 7年前 , 18F
易知 99! 也是解, 98! 不是解
09/28 14:58, 18F
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09/28 14:59, 7年前 , 19F
啊, 往下要多看 97!, 不過也是容易看出不是解
09/28 14:59, 19F
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