[微積] 一題最小值計算
請問一下如何證明這個題目：
令 f(x) = 1/(1+e^(-x)) --- called sigmoid function
對於任何 L > 0, 定義 g(x):= (f(x)-1)^2 + f(x-L)^2 on [0,L]
試證 L/2 為 g 的唯一一個全域最小值發生的地方
畫幾個圖形如下
L = 1 https://imgur.com/Me1U1Cs
L = 10 https://imgur.com/1sqb5NC
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當然我試過微分等於0，e^L跟e^x完全消不掉，解不出L/2是唯一一個使得g'(x)為0
的點 (當然g'(L/2) = 0 我知道)
接著我去觀察g'(x)這個函數，發現g'(0) < 0, g'(0) > 0
所以一樣只能從IVT得出存在g'(x_0) = 0，也一樣不能保證x_0是唯一的
目前剩下兩個方向
(1) 證明g''(x) > 0 → 計算量龐大我先沒試
(2) 用a+b = L , a,b>=0, 的限制條件去計算
g(a,b) = (f(a)-1)^2 + f(b)^2 的最小值
然後用Lagrange or convex problem
但：(a) Lagrange：此處有a,b>=0不等式型的，需要用KKT條件?
(b) convex problem：需要證明g(x,y)是定義在{(a,b):a+b = L , a,b>=0}
的convex function
我覺得應該不用用到(1) or (2)吧...感覺是簡單的問題@@?
謝謝幫忙！
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我試試看 謝謝V大與L大~^^
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