[分析] The Arzela-Ascoli theorem

看板Math作者 (大叔)時間7年前 (2018/06/02 15:37), 7年前編輯推噓3(3推 0噓 15→)
留言18則, 3人參與, 7年前最新討論串1/1
目前在看Rudin的7.25 Theorem(p.158)，又稱Arzela-Ascoli theorem，Proof有個地方 看不懂，想請板友解惑，感謝。 在Proof的(b)，他說: Since E is dense in K, and K is compact, there are finitely many points x_1,...,x_m in E such that K\subset V(x_1,δ)∪...∪V(x_m,δ). ========================================================================= 請問那m個點為何是在E找的?現在是K為compact，那finite subcover不就應該在K 找嗎?上面那段話應該改成: There are finitely many points x_1,...,x_m in K such that K\subset V(x_1,δ)∪...∪V(x_m,δ). 吧?我有注意到Rudin提到"E is dense in K"，這意味著K\subset closure(E)， 因此若y\in K，則\exist x\in E such that x\in V(y,δ)，但這樣還是跟Rudin講 的不太一樣，請問我少了哪個步驟呢?謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.177.114.46 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1527925072.A.1F2.html ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:38:26 ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:39:31 ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:39:53 ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:40:27
推
06/02 15:45, 7年前 , 1F
E改成K當然對 可是那就只是K compact定義
06/02 15:45, 1F
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06/02 15:45, 7年前 , 2F
要證出rudin那個 考慮E的一組open covers
06/02 15:45, 2F
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06/02 15:46, 7年前 , 3F
不難證明closure of E也會落在同樣的那組open cover
06/02 15:46, 3F
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06/02 15:46, 7年前 , 4F
s
06/02 15:46, 4F
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06/02 15:47, 7年前 , 5F
最後由K = closure of E得出那組open covers其實也
06/02 15:47, 5F
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06/02 15:47, 7年前 , 6F
是K的open covers 因此存在finite subcovers
06/02 15:47, 6F
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06/02 16:17, 7年前 , 7F
抱歉，無法理解你說的"不難證明"
06/02 16:17, 7F
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06/02 16:18, 7年前 , 8F
站內打給你唷 稍等
06/02 16:18, 8F
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06/02 16:23, 7年前 , 9F
抱歉，又要麻煩你了，我找了一些資源還是看不懂
06/02 16:23, 9F
推
06/02 18:22, 7年前 , 10F
嚴格說起來，並不是E的closure並不一定會包含在任意
06/02 18:22, 10F
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06/02 18:22, 7年前 , 11F
的E的open covers，但我們可以透過把opeb set稍微
06/02 18:22, 11F
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06/02 18:22, 7年前 , 12F
放大的方式，讓E的closure可以在某個E的open covers
06/02 18:22, 12F
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06/02 18:22, 7年前 , 13F
裡面
06/02 18:22, 13F
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06/02 18:23, 7年前 , 14F
阿第一段的「並不是」多打了，麻煩忽略XD
06/02 18:23, 14F
謝謝兩位的回應，請給我一點時間消化，讀比較慢。 ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 19:17:33
推
06/02 20:57, 7年前 , 15F
@mike大 不好意思讓你誤會了XD 因為原PO的
06/02 20:57, 15F
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06/02 20:58, 7年前 , 16F
open cover是固定半徑delta 所以我才會那樣說
06/02 20:58, 16F
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06/02 20:58, 7年前 , 17F
固定半徑的delta就不用放大就能包住closure了
06/02 20:58, 17F
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06/02 20:58, 7年前 , 18F
確實"任意"的opcn cover無法包住closure
06/02 20:58, 18F
我似乎做出來了，在大家的幫忙下。 Since K is compact, \exist y_1,...,y_m\in K such that K\subset \bigcup_{i=1}^{m}V(y_i,δ/2). With the denseness of E in mind, for i=1,...,m, we can choose x_i\in E so that x_i\in V(y_i,δ/2). By the triangular inequality, it's not hard to see that \bigcup_{i=1}^{m}V(y_i,δ/2)\subset\bigcup_{i=1}^{m}V(x_i,δ). ※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 22:58:25
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