[線代] A^k有n個相異固有值=>A也是如此

看板Math作者 (QQ)時間7年前 (2018/05/21 17:19), 7年前編輯推噓18(18推 0噓 82→)
留言100則, 7人參與, 7年前最新討論串1/1
Let A€M_n(F) , F = R or C, k>=2 if A^k has n distinct eigenvalues then A has n distinct eigenvalues -------------------------------------------------------------------- 試了什麼就先不佔版面了，感覺是我方向錯誤.... 在研究矩陣方根的時候遇到這個問題，回答的人都把它當顯然的性質 可是我試好久QQ 謝謝幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1526894360.A.EDC.html
推
05/21 17:44, 7年前 , 1F
SVD
05/21 17:44, 1F
推
05/21 18:33, 7年前 , 2F
Hint: (A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v
05/21 18:33, 2F
推
05/21 19:52, 7年前 , 3F
用 Jordan decomposition
05/21 19:52, 3F
→
05/21 19:53, 7年前 , 4F
注意 eigenvalues 全相異 → diagonalizable
05/21 19:53, 4F
→
05/21 19:55, 7年前 , 5F
A^k的各種處理法都OK 就是不知道如何跟A拉關係QQ
05/21 19:55, 5F
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05/21 20:01, 7年前 , 6F
呃, 發現不太用管 diagonalizable 那句
05/21 20:01, 6F
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05/21 20:04, 7年前 , 7F
就直接假設 A 的分解, 然後觀察 A^k
05/21 20:04, 7F
推
05/21 20:06, 7年前 , 8F
eigenvalus需要在R內存在嗎？
05/21 20:06, 8F
推
05/21 20:08, 7年前 , 9F
應該可以用實數的獨特性去證吧 if a not equal b an
05/21 20:08, 9F
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05/21 20:08, 7年前 , 10F
d a,b in R, then a^k not equal b^k for any K in
05/21 20:08, 10F
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05/21 20:08, 7年前 , 11F
N
05/21 20:08, 11F
推
05/21 20:09, 7年前 , 12F
更正，不需要考慮在R內是否存在。直接看jordan form
05/21 20:09, 12F
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05/21 20:39, 7年前 , 13F
用反證法很容易吧
05/21 20:39, 13F
各位板友不好意思，我還是抓不到關鍵...我說明一下各方法卡住的點好了：(做k=2) (1) giraffe大的【(A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v】 是成立在 若 Av = λv 則 (A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v 吧? 但是題目要的是若 A^2 v = λv 是否能拆出 A w = c w (2) Liam大的SVD是對A還是A^2做，我猜是對A做 但 A = UΣV^* , A^2 = (UΣV^*)(UΣV^*) 看不出什麼端倪... (3) ar大的jordan decomposition，jordan form 不是要 特徵多項式split才能用嗎? 那假設先處理F = C 的case (F = R不適用，因A不一定split，條件只有A^2 split) (因為A^2有n個相異固有值當然split) 則存在可逆矩陣Q€M_n(C)使得 Q^-1 A Q = J (Jordan matrix) 然後用 P^-1 A^2 P = D (diagonal matrix) 去證出J is diagonal？ (4) zom大感覺跟ar大的想法一樣，那是如何不用考慮 F = R的？ 如(3)所言，我們還不知道A是否split (5) sf大的反證法是指？直接從題目看的話我試過反證法要考慮兩個 (i) 假設A splits：那必存在某個char(A)的根是二重根以上 (ii)假設A 不splits：char(A)的根<=n-1個(計重數) ----------------------------------------------------- by the way, 從你們的回答貌似跟論壇一樣好像很trivial 到底是卡在哪QQQQQQQQQQQQ ※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 05/21/2018 23:59:10
推
05/22 00:41, 7年前 , 14F
jordan form 不用 char. poly. splits
05/22 00:41, 14F
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05/22 00:44, 7年前 , 15F
哦哦, 你的意思是那個. 你當 F 是 C 就好了
05/22 00:44, 15F
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05/22 00:44, 7年前 , 16F
如果你的 eig. value 不允許是複數, 那命題錯誤
05/22 00:44, 16F
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05/22 00:45, 7年前 , 17F
因為論壇是把這性質直接拿來用 但是我證很久證不出
05/22 00:45, 17F
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05/22 00:46, 7年前 , 18F
回到 F = C, 只要用到 J 是上(下)三角矩陣就行
05/22 00:46, 18F
→
05/22 00:46, 7年前 , 19F
朝著2x2矩陣找反例一段時間也找不到QQ
05/22 00:46, 19F
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05/22 00:46, 7年前 , 20F
這種矩陣的 eig. values 就是對角線
05/22 00:46, 20F
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05/22 00:46, 7年前 , 21F
有F=R的反例嗎 謝謝!!
05/22 00:46, 21F
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05/22 00:46, 7年前 , 22F
C我看一下
05/22 00:46, 22F
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05/22 00:47, 7年前 , 23F
很好求, 直接跟 A^k 的 eig. values distinct 矛盾
05/22 00:47, 23F
推
05/22 00:50, 7年前 , 24F
F = R的反例: A = {{0,1},{-1,0}}, k=2
05/22 00:50, 24F
→
05/22 00:52, 7年前 , 25F
F = C 的下一步不是直接分解 A^k, 而是考慮
05/22 00:52, 25F
→
05/22 00:53, 7年前 , 26F
A^k = (Q J Q^{-1})^k = Q J^k Q^{-1}
05/22 00:53, 26F
→
05/22 00:53, 7年前 , 27F
a大 那個不是反例 A^2 = {{-1,0},{0,-1}}
05/22 00:53, 27F
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05/22 00:54, 7年前 , 28F
eigenvalue重複了
05/22 00:54, 28F
→
05/22 00:54, 7年前 , 29F
哦哦對 我再想想
05/22 00:54, 29F
→
05/22 00:54, 7年前 , 30F
2x2幾乎想不到QQ 謝謝你的F=C
05/22 00:54, 30F
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05/22 00:57, 7年前 , 31F
關於你F=C的證明我有個疑問寄站內給你 感謝
05/22 00:57, 31F
推
05/22 01:03, 7年前 , 32F
F = R: {{2, 1}, {-12, 2}}
05/22 01:03, 32F
→
05/22 01:03, 7年前 , 33F
不對 又重複了= =
05/22 01:03, 33F
→
05/22 01:05, 7年前 , 34F
F=R 應該也是對的, 因為共軛根要一起出現
05/22 01:05, 34F
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05/22 01:05, 7年前 , 35F
透過 F=C 應該可以直接進一步說明, 可是這樣好繞
05/22 01:05, 35F
我用過F=C去處理F=R 但是卡在F=C時eigenvectors會是C^n 不能移回F=R....
→
05/22 01:06, 7年前 , 36F
由Jordan form 可知，若{a}是A的eigenvalue,則 {a^k
05/22 01:06, 36F
→
05/22 01:06, 7年前 , 37F
}是A^k的eigenvalue。若{a}不是相異的，則{a^k}必然
05/22 01:06, 37F
還有 23 則推文
還有 2 段內文
推
05/22 01:43, 7年前 , 61F
你放棄那邊就接01:28的推文就行了. 但就是暴力...XD
05/22 01:43, 61F
→
05/22 01:45, 7年前 , 62F
如果 S 是 real, 那 Q 也能修成 real
05/22 01:45, 62F
→
05/22 01:46, 7年前 , 63F
就是取 Q 的實部就行
05/22 01:46, 63F
→
05/22 01:58, 7年前 , 64F
I think all of the two cases follow from the fac
05/22 01:58, 64F
→
05/22 01:58, 7年前 , 65F
t that |A^k-t^k*I| is divisible by |A-tI|. The
05/22 01:58, 65F
→
05/22 01:58, 7年前 , 66F
case F=C is easy.
05/22 01:58, 66F
→
05/22 01:58, 7年前 , 67F
When, F=R, all the imaginay roots of |A-tI| can
05/22 01:58, 67F
→
05/22 01:58, 7年前 , 68F
be paired by conjugation. Two conjugate numbers
05/22 01:58, 68F
→
05/22 01:58, 7年前 , 69F
have the same size, which contradicts with that
05/22 01:58, 69F
→
05/22 01:58, 7年前 , 70F
the eigenvalues of A^k are distinct.
05/22 01:58, 70F
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05/22 02:04, 7年前 , 71F
F=R 作法相同, 但 F=C 我看不出來這樣能證
05/22 02:04, 71F
→
05/22 02:06, 7年前 , 72F
F=C 其實就是把你 01:06 推文的 eigen values 換成
05/22 02:06, 72F
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05/22 02:06, 7年前 , 73F
Jordan form 的對角線元素, 或者說是 eigenvalues
05/22 02:06, 73F
→
05/22 02:06, 7年前 , 74F
with algebraic multiplicity 就對了(要整體考慮,
05/22 02:06, 74F
→
05/22 02:07, 7年前 , 75F
而非一個一個 eigenvalue 考慮, 這樣處理不了重數)
05/22 02:07, 75F
→
05/22 02:15, 7年前 , 76F
|A^k-t^kI|的根都是相異的...不會有重數
05/22 02:15, 76F
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05/22 02:17, 7年前 , 77F
這方法就可以不用jordan form
05/22 02:17, 77F
→
05/22 02:35, 7年前 , 78F
但怎麼導到 A-tI 的根也是相異的? 而且要找 n 個哦
05/22 02:35, 78F
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05/22 02:36, 7年前 , 79F
你這樣只是複述一次問題, 重點是過程是怎樣的?
05/22 02:36, 79F
→
05/22 02:38, 7年前 , 80F
也許從這個方向切入是可行的, 可是你只說 divisible
05/22 02:38, 80F
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05/22 02:48, 7年前 , 81F
divisible為什麼不夠
05/22 02:48, 81F
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05/22 02:50, 7年前 , 82F
首先這是一個矩陣的方程式, 再來還有另一個因式
05/22 02:50, 82F
→
05/22 02:51, 7年前 , 83F
比如說 A^2-t^2 I = 0 的 t 有兩個根 1 和 4
05/22 02:51, 83F
→
05/22 02:52, 7年前 , 84F
你只說 divisible, 那怎麼知道 ±1, ±2 哪兩個
05/22 02:52, 84F
→
05/22 02:53, 7年前 , 85F
才是 A-tI = 0 的解?
05/22 02:53, 85F
→
05/22 02:55, 7年前 , 86F
哦哦, 你加絕對值是取行列式的意思
05/22 02:55, 86F
→
05/22 02:56, 7年前 , 87F
懂了懂了, 這樣應該行
05/22 02:56, 87F
推
05/22 03:03, 7年前 , 88F
給個推~
05/22 03:03, 88F
推
05/30 15:58, 7年前 , 89F
補個討論結果供後人參考: 只提出 |A-tI| 的話,
05/30 15:58, 89F
→
05/30 15:58, 7年前 , 90F
若 A 有 0 這個 eig. value 需要再額外處理.
05/30 15:58, 90F
→
05/30 15:58, 7年前 , 91F
比較迅速、廣泛的結果可以進一步分解
05/30 15:58, 91F
→
05/30 15:59, 7年前 , 92F
det(x^kI-A^k) = Π_i det(xI - ω^i A)
05/30 15:59, 92F
→
05/30 16:00, 7年前 , 93F
其中 i 過 0 ~ k-1, ω 為 1 的一個 primitive k-th
05/30 16:00, 93F
→
05/30 16:00, 7年前 , 94F
root.
05/30 16:00, 94F
→
05/30 16:02, 7年前 , 95F
繼續整理就會得出 A^k 的 char. poly. 之根恰好是
05/30 16:02, 95F
→
05/30 16:02, 7年前 , 96F
每個 A 的 char. poly. 之根的 ^k (計算重數)
05/30 16:02, 96F
推
06/02 20:30, 7年前 , 97F
要變回real matrix，就得說明eigenvector每個分量都
06/02 20:30, 97F
→
06/02 20:32, 7年前 , 98F
「可以是」實數(只能說「可以是」，因為多乘一個i也
06/02 20:32, 98F
→
06/02 20:33, 7年前 , 99F
還是eigenvector)。回頭解(A-λI)v=0，馬上就得到實
06/02 20:33, 99F
→
06/02 20:34, 7年前 , 100F
數分量的v了。
06/02 20:34, 100F
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