[代數] divisor of split poly is split

看板Math作者 (QQ)時間6年前 (2018/05/07 11:44), 6年前編輯推噓5(5推 0噓 25→)
留言30則, 6人參與, 6年前最新討論串1/1
想問一下這個"顯然"的題目怎麼證： 令f(x)為n(>=1)次split多項式，即f(x) = a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k where m_1+...+m_k = n, {x_1,...,x_k} distinct 若 f(x) = p(x)*q(x) , where p(x), q(x)都是多項式 則p跟q也會是split --------------------------------------------- 目前是用很蠢的方法一個一個拆，如下： 因為f(x_1) = 0 <=> p(x_1)*q(x_1) = 0 所以 p(x_1) or q(x_1) = 0 因此 p(x)*q(x) = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x), where p_1(x) = p(x) or q_1(x) = q(x) ( 取決於是p(x_1)還是q(x_1)=0 ) and deg(p_1)+deg(q_1) = deg(p) + deg(q) -1 再來，回到f(x)，我們有 a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x) 因此得到 a(x-x_1)^(m_1-1)*...*(x-x_k)^m_k = p_1(x)*q_1(x) 總之拆完就對了 ----------------------------------------------- 還是說，嚴格的方法就是這個+數學歸納法?? 謝謝指教~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1525664656.A.2D4.html
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05/07 12:01, 6年前 , 1F
如果p(x)有一個不是split的因式g(x)，則g(x)|f(x)
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05/07 12:01, 6年前 , 2F
（因為p(x)|f(x))這就矛盾了
05/07 12:01, 2F
你是指 假設p(x)不split，則有一個不split的因式g(x)，所以得出g(x)│f(x) 矛盾？ 這推論不就跟： 假設p(x)不split，則因為p(x)使p(x)的一個不split的因式，所以p(x)│f(x) 矛盾 但這不就是想證的東西嗎@@?
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05/07 15:54, 6年前 , 3F
對啊，所以反面看就很"顯然"
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推
05/07 21:00, 6年前 , 4F
如果 p 和 q 其中一個不 split，乘起來當然不 split
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推
05/08 00:14, 6年前 , 5F
我低估題目了……要講清楚的話要用到UFD的性質(雖
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然原po沒提但我相信應該是over field)做法就是拿p(
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x)q(x)去跟f splits後的結果去做比較 然後就可以得
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05/08 00:14, 6年前 , 8F
到p(x) splits
05/08 00:14, 8F
我的問題好像在於高中認為理所當然的事情...這就是UFD嗎?? 若 p(x)│a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k 則 p(x) = b(x-x_1)^n_1*...*(x-x_k)^n_k , where 0<=n_k<=m_k 這高中認為理所當然 沒去想過為什麼XDD 難怪現在會卡住QQ ※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 05/08/2018 11:23:16
推
05/09 03:04, 6年前 , 9F
不太可能是UFD吧.. 唯一因式分解就是UFD定義那根本
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05/09 03:04, 6年前 , 10F
不用證了
05/09 03:04, 10F
推
05/09 03:28, 6年前 , 11F
然後你第一行論證可能有問題，如果f over Z6 那(x-1
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05/09 03:28, 6年前 , 12F
)(x-2)=(x-4)(x-5) 但你說代1會使右邊其中一個是零
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肯定是錯的，你偷偷用到了沒有zero divisor的性質，
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但題目應該沒給
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推
05/09 08:56, 6年前 , 15F
我去查了一下split的定義 好像都定義在field上
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05/09 08:57, 6年前 , 16F
那肯定沒有zero divisor的
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05/09 08:58, 6年前 , 17F
而且1F的證法躲過了這個問題
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05/09 08:59, 6年前 , 18F
你說的那個叫做「唯一分解定理」 那個exactly是UF
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05/09 08:59, 6年前 , 19F
D的東西
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05/09 09:18, 6年前 , 20F
我昨天是證出可以放寬到integral domain with infin
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05/09 09:18, 6年前 , 21F
ite elements
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05/09 09:19, 6年前 , 22F
@R大說的有問題 是不是正是integral domain的ab=0
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05/09 09:19, 6年前 , 23F
等價於a=0 or b=0?
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05/09 09:20, 6年前 , 24F
@D大確實我一開始是假設無限體
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05/09 09:21, 6年前 , 25F
我會發問主要是我用"唯一分解"去處理"非split"的敘
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05/09 09:21, 6年前 , 26F
述
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05/09 09:23, 6年前 , 27F
也就是說 如果沒有唯一分解定理 即便我反證法假設di
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05/09 09:23, 6年前 , 28F
vizor不split 我下一步根本寫不出來
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05/09 09:23, 6年前 , 29F
但是確實寫不出來嗎 感覺是國中問題是不是我想太多X
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05/09 09:23, 6年前 , 30F
D
05/09 09:23, 30F
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