[中學] 求圓上動點至兩定點距離比例和之極小值

看板Math作者 (息尉)時間6年前 (2018/03/26 23:39), 6年前編輯推噓12(12推 0噓 23→)
留言35則, 7人參與, 6年前最新討論串1/1
平面上給定A、B兩點，令P為圓上一動點。 求 PA + k PB 之極小值，其中k > 0。 如果是k = 1的情況相對簡單， 若AB連線與圓有交點則顯然。 原本的題目為： 給定一圓心在原點O(0,0)，半徑為2的圓，A(4,0), B(0,3)。 令P為圓上一動點，求 PA + 2/3 PB 之極小值。 煩請大家指教！ ※3/29 補充 有朋友提供了一個有趣的原題解法： 令 Q(0,y) 滿足 △OPB ～ △OQP (SAS) OB : OP = OP : OQ => OQ = 2^2 / 3 = 4/3 => y = 4/3 PA + 2/3 PB = PA + PQ >= AQ = sqrt(4^2+(4/3)^2) = 4/3 sqrt(10) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.249.201 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1522078764.A.79E.html
推
03/27 01:42, 6年前 , 1F
若無交點則從圓心對AB之垂線與圓的交點即為所求
03/27 01:42, 1F
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03/27 01:42, 6年前 , 2F
為什麼？
03/27 01:42, 2F
推
03/27 02:00, 6年前 , 3F
他說的是 k=1 的結論吧
03/27 02:00, 3F
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03/27 02:20, 6年前 , 4F
為什麼 k=1 能這樣找？
03/27 02:20, 4F
推
03/27 02:24, 6年前 , 5F
咦對耶, k=1 的狀況是共焦點橢圓系跟圓的交點
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03/27 02:25, 6年前 , 6F
顯然不會會是這樣求
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推
03/27 02:27, 6年前 , 7F
嗯嗯 應該是找橢圓系與圓的切點
03/27 02:27, 7F
已刪除原本的結論
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03/27 08:38, 6年前 , 8F
請問可以解釋一下 怎麼看出橢圓系和圓的關係?
03/27 08:38, 8F
推
03/27 10:50, 6年前 , 9F
給定 k, c 時 PA + k AB = c 是個橢圓(吧)
03/27 10:50, 9F
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03/27 10:51, 6年前 , 10F
令CA+CB=L(如果固定L值，則滿足等式的C畫出來是橢
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03/27 10:51, 6年前 , 11F
圓）所以找P點的方法就是慢慢把L加大，然後找跟圓
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03/27 10:51, 6年前 , 12F
的交點
03/27 10:51, 12F
感謝說明！ k=1的狀況我已經了解了 其他k時的橢圓該如何調整呢?
推
03/27 12:30, 6年前 , 13F
其他case就不是橢圓啦
03/27 12:30, 13F
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03/27 12:34, 6年前 , 14F
不懂 給定 k, c 時 PA + k AB = c 是個橢圓?請D大開
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03/27 12:34, 6年前 , 15F
示，拜託，感恩
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推
03/27 12:42, 6年前 , 16F
我在想 這不像是一般題目 該不會是科展或專題吧?
03/27 12:42, 16F
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03/27 12:42, 6年前 , 17F
如果是這樣 關鍵的部分靠別人想 不會有點奇怪嗎XD
03/27 12:42, 17F
應該不是唷 這是朋友家教時學生給的題目 已在原文中附上原本的題目
推
03/27 12:48, 6年前 , 18F
k=2 的一個例子
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03/27 12:48, 6年前 , 19F
03/27 12:48, 19F
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03/27 12:58, 6年前 , 20F
看懂了 P誤打成A XD
03/27 12:58, 20F
推
03/27 13:05, 6年前 , 21F
就用參數式阿XD
03/27 13:05, 21F
推
03/27 13:10, 6年前 , 22F
如果是我的話 會將化完的參數式: 根號(20-16sinQ)+
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03/27 13:12, 6年前 , 23F
2/3*根號(13-12sinQ) 微分後看看 Q 在 0到拍/2之間
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03/27 13:12, 6年前 , 24F
有無解 至於你要求的通式 就是科展等級了
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03/27 13:13, 6年前 , 25F
不要隨便把題目通式化啦XD 有時候數字只是剛好能求
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03/27 13:13, 6年前 , 26F
的特殊解而已
03/27 13:13, 26F
我對原題的做法 正如您所說是利用參數式找最小值 但是想問問看有沒有可能以幾何性質或是其他方法求解這類問題 感謝您的分享！ 正如您所說 朋友提供了一個特殊解法 我已放入內文供參考
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03/27 13:21, 6年前 , 27F
噗 英雄所見略同 不過看到P大提供的繪圖 我覺得
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03/27 13:21, 6年前 , 28F
簡單的幾何通解應該是沒可能了
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推
03/27 13:26, 6年前 , 29F
硬要做的話(比方說專題) 那種形狀感覺要用極座標下
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03/27 13:26, 6年前 , 30F
去比較有希望
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推
03/27 15:47, 6年前 , 31F
我是覺得只有 k=1 的狀況是橢圓, k≠1 時會有像上面
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03/27 15:47, 6年前 , 32F
Pan 的圖那樣在 B 點附近有尖角
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03/27 15:48, 6年前 , 33F
說起來橢圓其實退化到極限是兩個尖角 (ie.線段)
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03/27 15:48, 6年前 , 34F
所以我們才比較沒在考慮而已
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03/27 23:33, 6年前 , 35F
題目哪來的?
03/27 23:33, 35F
※ 編輯: BreathWay (140.112.25.121), 03/29/2018 13:36:31
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