Re: [中學] 一題學科競賽

看板Math作者 (Farewell)時間7年前 (2018/03/21 15:05), 7年前編輯推噓2(2推 0噓 5→)
留言7則, 1人參與, 7年前最新討論串2/2 (看更多)
※ 引述《breaken (我的心藍藍的)》之銘言： : https://i.imgur.com/DLgegJr.jpg
: 第一題未知資訊 : 感謝各位先輩 : 感恩 x^4 - ax^3 + 2x^2 - bx + 1 = 0 存在一非零實數解 x x^4 + 2x^2 + 1 = ax^3 + bx x^2 + 2 + 1/x^2 = ax + b/x ...(*) 由於 (a^2 + b^2)(x^2 + 1/x^2) >= (ax+b/x)^2 ...(**) 因此 (a^2 + b^2) >= (x^2 + 2 + 1/x^2)^2 / (x^2 + 1/x^2) ...(**) 設 c = x + 1/x 整理右式可得 c^4/(c^2-2) = c^2 + 2 + 4/(c^2-2) >= 4 + 2 sqrt(4) = 8 ...(***) (**) 等號成立條件為 a/x = b/(1/x) (***) 等號成立條件為 c^2-2 = 4/(c^2-2), 即 c^2 = 4, c = x + 1/x = +- 2 因此 x = +- 1 再聯立(*)可得 (a, b, x) = (2, 2, 1) or (-2, -2, -1) 既然有解，因此 a^2 + b^2 有最小值 8 (原本那個解法的錯誤，是因為只有3個未知數卻有4個等式) 應該有更好的作法，不覺得這個方法很好qw q -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.34 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1521615945.A.BD1.html ※ 編輯: Desperato (140.112.25.34), 03/21/2018 15:13:50 ※ 編輯: Desperato (140.112.25.34), 03/21/2018 15:24:47
推
03/21 15:46, 7年前 , 1F
從 (**) 可以令 a = kx, b = k/x
03/21 15:46, 1F
→
03/21 15:47, 7年前 , 2F
則原方程式: (1-k)x^4 +2x^2 +(1-k) = 0
03/21 15:47, 2F
→
03/21 15:47, 7年前 , 3F
x^2 + 1/x^2 = 2/(k-1)
03/21 15:47, 3F
→
03/21 15:47, 7年前 , 4F
所以 a^2 + b^2 = 2k^2/(1-k)
03/21 15:47, 4F
→
03/21 15:48, 7年前 , 5F
= 2(k-1) + 2/(k-1) + 4 >= 8
03/21 15:48, 5F
→
03/21 15:49, 7年前 , 6F
一樣也是 柯西 套 算幾 就是了XD
03/21 15:49, 6F
推
03/21 16:23, 7年前 , 7F
補一下，因為判別式，所以 0<=k<=2
03/21 16:23, 7F
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