[線代] Moore-Penrose 偽逆矩陣等價定義(500p*2)
周老師blog於這篇 https://goo.gl/8EytAW 提到：
令A為mxn的矩陣(€M_mxn(F)), 偽逆矩陣B(就是A^+)就是下列兩個等價定義的唯一最佳解
(1) The unique sol B€M_nxm(F) s.t.
│AB-I_m│= min │AX-I_m│
X€M_nxm(F)
(2) The unique sol B€M_nxm(F) satisfying the following (a)~(d)
(a) AXA=A
(b) XAX=X
(c) (AX)*=AX
(d) (XA)*=XA
我的問題在於，(2)的A,X是對稱的，所以感覺上(1)反過來也可以
但是文中沒有提到(1)與(2)的等價性證明, 我也google不到@@"
(如果有的話感覺可以對於(1)的AX或是XA得到一些靈感)
因此在這邊請教板友兩個證明：(各500p)
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(一) 證明：(先不論解的唯一性)
B€M_nxm(F) 可以使│AX-I_m│最小化
if and only if
ABA=A, BAB=B, (AB)*=AB, (BA)*=BA 四式同時成立
(二) 證明：(先不論解的唯一性)
B€M_nxm(F) 可以使f(X):=│AX-I_m│最小化
if and only if
B€M_nxm(F) 可以使f(X):=│XA-I_n│最小化
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感謝幫忙~
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