Re: [中學] 函數與直線
設f(x)-g(x)=(x-m)^2 (x-n)^2
則f(x)-g(x)= x^4 -2(m+n)x^3 +(m^2 + n^2 + 4mn)x^2 -2mn(m+n)x + m^2 n^2
對照原係數：
m+n=2
m^2 + n^2 + 4mn = a ┐
m^2 n^2 = 7-a ┘ --> m^2 + n^2 + 4mn + m^2 n^2 = 7
--> (m+n)^2 + m^2 n^2 + 2mn = 7
--> 4 + m^2 n^2 + 2mn = 7
--> m^2 n^2 + 2mn - 3 = 0
--> mn = -3, 1
mn = 1
n(2-n)=1 --> n=1,m=1 不合
mn = -3
n(2-n)=-3 --> n=3,m=-1
或n=-1,m=3
Ans:-1
: https://i.imgur.com/zusrJtc.jpg
觀察得知△AQR ~ △BQP,∠RPQ=90度
設AR=a,AP=b,∠ARP=x
則sin45/sin(135-x) = cosx + sinx = √(a^2 + b^2) / (a+b)
RP = √(a^2 + b^2)
RQ = (4-a) √(a^2 + b^2) / (a+b)
PQ = (4-b) √(a^2 + b^2) / (a+b)
RP^2 + PQ^2 = RQ^2
(計算省略)--> b^2 + ab + 4a - 4b = 0
--> a=b(4-b)/(b+4)
RQ:PQ = (4-a):(4-b)
設A(0,0) B(4,0) C(0,4)
則重心G(4/3 , 4/3) ,R(0,a) ,分點公式Q=（4(4-a)/8-a-b , 4(4-b)/8-a-b）
RGQ共線-->（計算省略）2a^2 -ab -8a + 4b = 0
現有2式聯立：
b^2 + ab + 4a - 4b = 0
2a^2 -ab -8a + 4b = 0
得2a^2 + b^2 - 4a = 0 --> b^2 = 2a(2-a)
a=b(4-b)/(b+4) 代入 b^2 = 2a(2-a)
得3b^3 - 4b^2 + 48b - 64 = 0
-->(3b-4)(b^2 + 16) = 0 --> b = 4/3 , a = 2/3
Ans: AP=4/3
用了暴力計算法之後，另外想到一個簡潔作法：
設A(0,0) B(4,0) C(0,4) P(b,0) 則重心G(4/3 , 4/3)
對y軸做P的對稱點S(-b,0), 對線段BC做P的對稱點T(4,4-b)，則S、R、G、Q、T共線。
S、G、T共線：
4-b 4/3
-------- = --------- --> b = 4/3
4+b b + 4/3
ANS: AP=4/3
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01/13 13:28,
6年前
, 1F
01/13 13:28, 1F
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