Re: [分析] (獎金2000P)調製 ε-δ proof 的δ
※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言：
: 標題: [分析] (獎金2000P)調製 ε-δ proof 的δ
: 時間: Sun Nov 5 22:48:41 2017
:
: 問題跟Rudin->p.209->9.8 Theorem (b)有關，但請容許我直攻核心。
:
: Let β≧0 and let α>0. Find δ>0 so that if β<δ, then
:
: (1)β<α, and
:
: γβ 1
: (2)------ <ε for 0<γ≦------- [which is meaningful by (1)].
: α α-β
:
: αε
: 我都是從δ=δ(α,ε)下去想，試了δ=-------- ...等等，但總是在(2)無功而返。
: 1+ε^2
我把你的問題重新敘述一遍，釐清什麼是先給什麼是要存在的：
是否：
給定正實數α>0，則任給ε>0，都存在一個δ>0，使得任給 0≦β<δ時，
下面兩件事會成立
(1) β<α
1 γβ
(2) 任給 0<γ≦ ───時 ， ─── 會小於ε
α-β α
εα^2 α
若以上敘述是你要證明的東西，那只要令 δ= min{────, ──} 即可
2 2
證明：
(a) 任給0≦β<δ時，β<δ<=α/2，因此β<α，(1)成立
(b) 任給 0<γ≦1/(α-β)時，(γβ)/α≦β/[α(α-β)]
≦2β/α^2 (因為α-β>α-δ>=α/2)
< 2(εα^2/2)/α^2
= ε
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