Re: [分析] Fourier Transform 是否是 bijective
※ 引述《annboy (BlueGun)》之銘言：
: 本人是電機系的學生
: 有些問題從大二開始就一直放在心裡
: 直到最近退伍開始準備研究所考試，才又讓我回想起這些問題
: 查了一些相關資料，發現以自己的數學能力似乎無法解決
: 詳細的問題如下:
大大您好，能看到這篇文真是太高興了，我也是大學部電機系，
因為電資學院的數學課一向是應用導向，很多東西是漏洞百出的，我有同感，
所以最近研所開學前我也正在準備 Signal and System 的複習筆記，以貫串全科概念，
這科讀通了會很有幫助。不料我太高估自己的能力了，可能沒辦法在開學前完成筆記，
因為之前有一個相關問題有在版上發問得到某位大大的幫忙，所以預計之後 (約1個月)
會把我的筆記 PO 上來給大家批評指教。
: (1)
: Fourier Transform (以下縮寫成FT) 是個 Linear map ，那這個轉換是
: bijective 嗎?
大部分的工程書會說是，這是因為時域訊號能表示成無窮多個弦波的疊合，
週期性訊號 => 子弦波頻率值必須是原訊號基本頻率的倍數，
非週期性訊號 => 不受上述限制，子弦波頻率值可以是任意實數，
上面兩句話就是赫赫有名的傅立葉定理 (Fourier Theorem)。
頻域的成分就代表著對應頻率的弦波(震幅)大小，既然如此，當然時域和頻域會有 1-1
的對應，就有點類似每個人的基因都不同的感覺。
至於為什麼 * e^(-jωt) 的積分就能將頻譜成分分離出來，可以先從一般週期性訊號
利用積分正交性質求係數那裏開始，再利用 一個週期->INF 推廣到非週期性訊號，
我自己是覺得在收斂的情況下，那個積分/反積分公式推導應該還不需要用到高微啦，
不太確定，但我只剩從 FT 到 IFT 的推導還沒弄清楚，至少前面 FT 公式怎麼來的我
幾乎可以接受。而且事實上不論傅立葉積分有沒有收斂都是如此。所以說到這邊，最
重要的問題是為什麼積分沒有收斂也能有 1-1 關係？
: 會開始思考這個問題先前是來自於對Fourier Transform Table的懷疑，
: 為何週期性函數 exp(jat) 的FT是 2πδ(ω-a)， ?
: (其中 δ(ω)是Dirac delta function，a是一個實數常數)
: 大部分的工程數學類課本都是用FT的反轉換(Fourier inversion theorem)
: 來證明這件事情。
: 我能接受 2πδ(ω-a) 的反轉換是 exp(jat) ，但反過來不代表就是對的。
: 雖然說可將exp(jat)將代入FT的定義，但總是無法避免一個周期性函數積分到無限大
: 的問題。
會出現無限大是正常的，事實上只要是週期性函數 (如您所提的 exp(jat))，在連續頻譜
上都應該有無限大的值，因為連續頻譜是考慮到任意實數頻率的情況，所以說如果只有
一個點的頻率上有值，此值就會轉化為面積，才會有這種總積分為 1 的特殊函數出現，
跟 probability density function 在單點機率為 0 的概念有 87% 像。
這也就接著帶到離散頻譜的出現，很顯然是專門給週期性訊號使用的，因為週期性訊號只
需要每個弦波的係數，不需要考慮其他亂七八糟的頻率值，自然不用算整個頻率軸積分。
我們可以說δ函數存在的意義是為了要讓我們找到一種，讓週期性訊號在連續頻譜上的
表達方式，跟直接計算離散頻譜的結果等價，一種從連續頻譜到離散頻譜的過渡。
: 大學時期的我沒能解決這個問題，反正就是記下轉換的結果，一個Fourier series
: representation 的轉換就是一串 impulse train ，就像所有個訊號與系統書上寫
: 的那樣，這個結果在通信領域相當有用。
是，一般的大學生都不太能解決這個問題，只能硬背查表，我當初也是，這會讓人對 EE
的科目失去興趣 & 信心，看看我新設定的暱稱就知道了。
: 最近我開始重新思考這個問題，去查了一些相關資料，一查之後發現自身數學能力之
: 嚴重不足，比如說Dirac delta function並不是一個古典函數，
: 而要看成一個distribution。
我也是最近這一個月複習時估狗才發現原來δ不能算是一個函數阿... 老師都沒說哩！
所以到目前為止至少可以相信連續頻譜中的 δ(f-a) 對應到離散頻譜中 f=a 的成分
有正比關係，但我不確定是不是 1:1。
: 一般書上都會說FT會收斂的條件是絕對可積，一查之後才發現這個可積是
: Lebesgue integrable ， 又去看了一些 Lp space相關的資料，發現
: 討論這個問題上，常使用 f ∈ L1、f ∈ L2 的寫法。
: 扯到 Lebesgue integration 又發現我得具有Mathematical analysis的基礎。
: 對一個基礎線性代數和微積分的電機系學生來說，這個問題真的極度頭大。
: 最後想請問是否有版大能給出這個問題的結論(我知道即使有證明，
: 我現在能力可能也沒法看懂)，或者能推薦我解決此問題應考慮閱讀哪些相關的原文書?
最後是我對訊號與系統這門科目的一些想法，回歸到傅立葉轉換的本質，它的目的就是
幫助我們分析一段訊號中不同頻率的波的大小，可能費玉清的錄音檔就會高音居多，
周杰倫的錄音檔就會偏低沉，想探究數學原理，是為了更清楚傅氏分析為什麼要這樣算，
才不會讀錯頻譜。當然複習過程中我有用到一點高微，但只有上學期一開始的一小部分，
以我自己來說，會用到過於高深的數學定理去證明出來的正確性是完全無感，對理解
為什麼要這樣積分其實沒什麼幫助，只是為了正確性而正確性。
目前我自己的複習架構是這樣的：
(1) 以一開始上面兩行的傅立葉定理當作基石。(直接假設它是對的)
(2) 證明週期性訊號的 CTFS，(簡單的線性代數與微積分即可，包含正交的概念)
(3) 證明非週期性訊號的 CTFT，(將一週期趨近於無限大，可能會有一點高微，但極少)
(4) 重複 (2), (3) 證明 DTFS 與 DTFT。(與本文無關，純粹是整個S.S.的其中一章)
(5) 比較一下週期性訊號直接計算 CTFS，與代公式得到的 CTFT，是否有前面所提到的，
在δ函數的地方有正比關係，藉此說服自己，為什麼要有δ函數，為什麼δ函數要這樣
設計？如果交由您自行設計δ函數，思路為何，是否會導到先人的結論？
所以說要理解δ函數，我自己是覺得不用讀到太深的東西。
然後我前面提過在版上發問得到需要高微的解答，那個問題是，為什麼時域取樣之後會
讓頻譜重複 (文章ID：#1POrfJZX)，這個特性真的蠻玄的，如果不使用δ函數證明，版上
大大給我的解答是會用到高微下學期的 Stone-Weierstrass 定理，但我也不會因為這個
特性就跑去弄懂 S-W 定理，那太花時間了。
總而言之，在訊號與系統的世界裡，應該可以完全不靠δ函數的積分就能打遍天下，只是
有時候會有點辛苦多繞路，所以說只要知道δ扮演的角色，直接使用應該是沒有問題的。
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※ 編輯: alan23273850 (123.193.38.80), 08/26/2017 10:02:41
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