Re: [微積] 從積分值恆等反推兩函數恆等

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間7年前 (2017/07/10 18:43)推噓2(2推 0噓 16→)

留言18則, 3人參與討論串1/1

※ 引述《alan23273850 ()》之銘言： : 各位版友大家好，我有一個有關微積分的問題想請教各位： : 問題大概是這樣的，最近在複習數位訊號處理時遇到下面 : 兩個等式，裡面只有 n 是自變數，其他都是常數，而上下 : 兩式確定隨便代入任何一個 n 都會有一樣的值，想請問 : 要怎麼反推在積分範圍(-pi/T ~ pi/T)下兩個畫紅色底線 : 的函數會完全相等呢？有什麼理論基礎可以證明這件事嗎？ : 因為是應用性的課本就直接寫它們一樣了，沒有任何推導， : 所以才來版上發問，先謝謝願意解惑的大大了！ : (不用很詳細沒關係，有 keyword 我也可以自行尋找材料) : https://i.imgur.com/xbMK2qU.png

從你的推文我聯想到這個定理:stone-weierstrass theorem 但我不知道你對高微認識多少因此下面當作聽個故事 ------------------------------------------------ 首先你應該知道 b b ∫ f(x) = ∫ g(x) 根本不可能得到f=g，即便f與g都是連續 a a 但！如果 b b ∫ f(x)x^n = ∫ g(x)x^n for all n>=0 a a 那恭喜你只要f跟g是連續函數，就可以得到f=g everywhere 這是"Weierstrass approximation theorem"很典型的應用這個定理說任何定義在[a,b]的連續函數f，必可以找到一群多項式P_n去均勻逼近即S := {any finite linear combination of x^n:n>=0 ,x€[a,b]} 稠密於C[a,b] 稠密顧名思義就是任取某個f€C[a,b](定義在[a,b]的連續函數)，要多近就有一個夠近的linear combination of x^n 靠近f，而linear combination of x^n就是多項式這個你大致知道的話，stone-weierstrass theorem更廣了，剛剛你看到S是x^n的線性組合，那是否有其他種類的函數收集起來也可以逼近C[a,b]呢？有！只要集合滿足此定理"需要的條件"(見以下連結)，就可以 https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem 而這個網頁你搜尋一下"The theorem has many other applications to analysis, including:Fourier series:............."這邊 {e^(2πin), n€Z}的線性組合稠密於C([0,1]/{0,1}) (這邊[0,1]/{0,1}是[0,1]兩端點看做一個點黏起來變成一個封閉圓) 而剛好你照片裡的函數經由 x=(2π/T) y 就是在e^(2πin)在[-1/2,1/2]的積分 ----------------------------------------------------------------------- 概念大致上是這樣嚴格證明因為我沒跑過就交給你了XD -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.161.121 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1499683411.A.8E1.html

推

pentiumevo

07/10 22:36, , 1^F

07/10 22:36, 1^F

推

alan23273850

07/10 23:29, , 2^F

07/10 23:29, 2^F

→

alan23273850

07/10 23:29, , 3^F

07/10 23:29, 3^F