Re: 請教一題對數的題目
※ 引述《someobb (屁屁)》之銘言：
: x、y、z為自然數，x^2+y^3=z^5
: 又x=2^(41n+12)，y=2^(16n+5)
: 則求 3log x-(15/2)log y+5log z
: 2 2 2
: 一直卡在z的部分
: 麻煩各位可以指點一下
: 答案是給1
: 謝謝!!!
我也算不出來ow o
所以以下我在考慮別的問題，例如其實x,y,z解不出來，題目有誤(欸
其實自然數這個條件蠻重要的
正確來說我懷疑 x^2+y^3=z^5
加上 x 和 y 的條件會無解 ... 但還是做不出來(眼神死)
(Step 1) 證明 n 是有限制的，2^n 必須是正整數
首先 x^16 = 2^(656n+192)
y^41 = 2^(656n+205) 都是自然數
得到 (2^13)(x^16)=(y^41)
設 x = 2^a2 3^a3 5^a5 ...
y = 2^b2 3^b3 5^b3 ...
有 13 + 16a2 = 41b2
16ap = 41bp, p odd prime
解得 (a2, b2) = (12+41k2, 5+16k2)
(ap, bp) = ( 41kp, 16kp)
令 N = 2^k2 3^k3 5^k5 ...
有 x = 2^12 N^41 = 2^12 2^41n
y = 2^ 5 N^16 = 2^ 5 2^16n
經由比對之後能明顯看出 N = 2^n 是個正整數
(Step 2) 代回去解 x^2+y^3=z^5
得到 z^5 = 2^24 N^82 + 2^15 N^48
= 2^15 N^48 (2^9 N^34 + 1)
因為 N^48, 2^9 N^34 + 1 互質
因此 N^48 = b^5 , N = M^5
2^9 N^34 + 1 = c^5
2^9 M^170 = (c-1) (c^4+c^3+c^2+c+1)
將 M 分解成 5^t u v, (u, v) = (5, uv) = 1
其中 u 整除 c-1, v 整除 c^4+c^3+c^2+c+1
由於 c-1 和 c^4+c^3+c^2+c+1 的公因數最多 5，以及後者是個奇數
分成以下兩個情況
(1) c-1 不是 5 的倍數，此時 t = 0
c = 2^9 u^170 + 1 = d + 1
2^9 (uv)^170 = d^5 + 5d^4 + 10d^3 + 10d^2 + 5d
v^170 = d^4 + 5d^3 + 10d^2 + 10d + 5
(d^2+(5/2)d+15/8)^2 = d^4+5d^3+ 10 d^2+(75/8)d+(15/8)^2
(d^2+(5/2)d+ 2 )^2 = d^4+5d^2+(41/4)d^2+ 10 d+ 4
(1/4)d^2 顯然大於 1，比對係數可以得到
(d^2+(5/2)d+15/8)^2 < m^170 < (d^2+(5/2)d+2)^2
因此 d^2+(5/2)d+15/8 < m^85 < d^2+(5/2)d+2，m^85 無整數解矛盾
(2) c-1 是 5 的倍數，t >= 1
(a) c-1 = (2^9)(5)(u^170) = 5 d
5^(170t-1) v^170 = c^4 + c^3 + c^2 + c + 1
= (5d)^4 + 5(5d)^3 + 10(5d)^2 + 10(5d) + 5
5^(170t-2) v^170 = 125d^4 + 125d^3 + 50d^2 + 10d + 1
左邊是 5 的倍數 右邊不是 矛盾
(b) c-1 = (2^9)(k)(u^170) = k d, k = 5^(170t-1)
5 v^170 = c^4 + c^3 + c^2 + c + 1
= (kd)^4 + 5(kd)^3 + 10(kd)^2 + 10(kd) + 5
得到 kd 整除 5 (v^170-1)
因此 5^(170t-2) u^170 整除 v^170 - 1
v^170 = (1/5)(kd)^4 + (kd)^3 + 2(kd)^2 + 2kd + 1
... 還是解不出來 明天繼續qw q
總之現在要解 2^9 M^170 + 1 = c^5 的整數解
這鬼東西如果沒解 那這題就爆掉不用解了\ow o/
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嗯嗯ow o
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有解的是 x^2+y^3=z^5 本身 其實解還蠻容易的
設任意 X + Y = Z, 三數兩兩互質
令 X = 2^a2 3^a3 5^a5...
Y = 2^b2 3^b3 5^b5...
Z = 2^c2 3^c3 5^c5...
現在考慮任一組 (ap, bp, cp)
若 ap = 1 (mod 2) 則整式乘上 p^15
若 bp = 1, 2 (mod 3) 則整式乘上 p^20, p^10
若 cp = 1,2,3,4 (mod 5) 則整式乘上 p^24, p^18, p^12, p^6
由於 (ap, bp, cp) 基本上頂多有一個非0 (因為兩兩互質)
所以上述動作只會乘一次而已
將每個質數照乘一遍之後 會得到 X' + Y' = Z'
其中 X' = x^2, Y' = y^3, Z' = z^5 此時的 (x,y,z) 就是一組解
如果再將整式乘上 A^30 又會是另一組解
實際上所有 (x,y,z) 都能這樣做出來
因為任何 (x^2,y^3,z^5) 一定可以先約成兩兩互質
所以問題是出在 x=2^(41n+12)，y=2^(16n+5) 這個條件
這個條件(可能)會害上式做不出來
實際上 如果考慮 (x,y,z) 變成 (A^15 x, A^10 y, A^6 z) 的話
3log x-(15/2)log y+5log z 會是個定值
2 2 2
所以關鍵應該就是把 x=2^(41n+12)，y=2^(16n+5)
代回 x^2+y^3=z^5 直接把 z 和 x,y 的關係做出來
可是代回去的時候出問題了ow o
※ 編輯: Desperato (118.167.46.121), 08/10/2017 23:26:15
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：