[分析] 萊布尼茲對積分做微分證明
有關這個耳熟能詳的公式：
d b(z) b(z)
── ∫ f(t,z) dt = ∫ f_z(t,z) dt + f(b(z),z)b'(z) - f(a(z),z)a'(z)
dz a(z) a(z)
最快速的證明方法莫過於多變數的chain rule：
y
令 F(x,y,z) = ∫ f(t,z) dt
x
則所求 = dF(a(z),b(z),c(z)) / dz
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問題：應該有好幾年我都認為這樣
但是今天檢查突然發現 chain rule前提要F(x,y,z)是可微分函數才可以這麼做
而這件事情好像不顯然
去翻了Apostol 2nd Mathematical Analysis P.354 Theorem 12.8
http://i.imgur.com/8JiQQ3S.png
他也是直接說用chain rule 似乎"F(x,y,z)可微分"是很顯然的才沒提
所以是有很快速的看法??
我自己是有用"F的各階偏導存在且連續"來證明F的可微分性
y
而F_x(x,y,z) = f(x,z) , F_y(x,y,z) = -f(y,z) , F_z(x,y,z) = ∫ f_z(t,z) dt
x
前兩者連續是顯然的，第三個的連續性拆成三項也可以證出來
想請教版友們的看法是??
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