[分析] (x^r)'=rx^(r-1) 論證問題

看板Math作者 (QQ)時間8年前 (2017/04/20 22:38), 8年前編輯推噓10(10推 0噓 24→)
留言34則, 7人參與, 最新討論串1/1
記得大一微積分老師在證明x^r的微分是rx^(r-1)時 是從 (x^n)' (x^(1/n))' x^(p/q)... 去推得： for any r€R f(x):= x^r：R^+ → R is differentiable with f'(x) = rx^(r-1) 當時我沒注意到x^r的定義問題，就當作理所當然，沒考慮到像是pi^e這是啥鬼 最近自己建構一次指數函數也發現一些循環論證的毛病 比如想要證明從 lim (1+1/n)^n = c 到 lim (1+1/x)^x = c n→∞ x→∞ 後者根本沒定義，除非已經用其他方法建立出exp(x)了 若否 想要用 lim (1+x/n)^n = exp(x) 去建立出指數的過程中 n→∞ 當b不是有理數時 a^b 不可以跑出來 ------------------------------------------------------------ 回到原問題，我們知道指數的建構是由exp(x)而來 而exp(x)有很多等價定義 when a>0 , b€R a^b := exp(b*ln(a)) 所以 x^r的定義就是 exp(r*ln(x)) 直接去微分然後代入 1.chain rule 2.exp(x)'=exp(x) 3.ln(x)' = 1/x 就可以得到 (x^r)'=rx^(r-1) 那老師原本那套流程是在證明什麼?? 簡單說，x^r的定義就是exp(r*ln(x))，既然都"寫出來x^r"了 然後根據定義 就微分 結束 假如我邏輯是對的 老師也是對的 是卡在哪個重複定義的地方?? 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.236.166 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1492699093.A.FDD.html
推
04/20 23:06, , 1F
我都看的懂你說的 但是卻看不懂你問的 真顏汗
04/20 23:06, 1F
→
04/20 23:07, , 2F
不過我的想法是 x^r 如果要從基本極限定義去推導
04/20 23:07, 2F
→
04/20 23:07, , 3F
微分過程 會遇到(x+a)^r 這部份要打開來做
04/20 23:07, 3F
→
04/20 23:08, , 4F
取e^ln(x)的作法 應該是等價關係
04/20 23:08, 4F
→
04/20 23:14, , 5F
哈利耶 對呀就是照定義 可是x^r的定義已經是那樣
04/20 23:14, 5F
→
04/20 23:15, , 6F
從這個定義(合成函數)要去做微分 就直接chain rule
04/20 23:15, 6F
→
04/20 23:15, , 7F
還是說 老師那個流程也是對的 只是繞遠路?
04/20 23:15, 7F
推
04/20 23:16, , 8F
如果是x^x呢?
04/20 23:16, 8F
微分是x^x(ln(x)+1) 哈力要問什麼??
推
04/20 23:16, , 9F
x^s,s是實數時,如果用r是有理數,x^r的極限來定義,不
04/20 23:16, 9F
→
04/20 23:17, , 10F
知道這樣可不可行？
04/20 23:17, 10F
P大 如果老師當初是用x^(p/q)來定義x^r的話 這樣邏輯就說的過去了 只是這流程我沒跑過XD
推
04/20 23:17, , 11F
我倒是沒有走過前面的方法欸XDDD
04/20 23:17, 11F
→
04/20 23:17, , 12F
通常走第一條路我會用 s_n->r, s_n in Q 然後用
04/20 23:17, 12F
→
04/20 23:18, , 13F
x^r 是連續做
04/20 23:18, 13F
→
04/20 23:18, , 14F
我猜可能會好用（？）雖然我沒有認真算XDD
04/20 23:18, 14F
→
04/20 23:20, , 15F
我微積分數學e^(blog(x))的chain rule
04/20 23:20, 15F
我就是一直習以為常 直到昨天跑過一次流程才發現x^r的微分根本照定義就出來了 還是老師的方法是在不知道"exp與ln"的微分與 不知道"chain rule"狀態下去做的 年代久遠要翻塵封已久的筆記才知道XD 只是這是大一初微 我記得沒先說x^r的定義就先承認指數函數了 ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.236.166), 04/20/2017 23:30:00
→
04/20 23:32, , 16F
欸 還有j大你說的 x^r是連續做 阿還是需要定義x^r呀
04/20 23:32, 16F
推
04/20 23:37, , 17F
很有道理，可能我睡太少了（欸
04/20 23:37, 17F
→
04/20 23:38, , 18F
可能我想說的跟P大比較像XDD
04/20 23:38, 18F
推
04/21 00:01, , 19F
x^r本來就有兩種定義方法 一個是exp(r logx)
04/21 00:01, 19F
→
04/21 00:02, , 20F
另一個是取sup x^q (q<r, q rational)
04/21 00:02, 20F
→
04/21 00:02, , 21F
定義了其中一個之後 可以證明另一個等式是對的
04/21 00:02, 21F
→
04/21 00:05, , 22F
不管是哪個 在有了實數的完備性之前都無法好好定義
04/21 00:05, 22F
推
04/21 00:07, , 23F
看不懂你們說得 我會用就好 (逃跑
04/21 00:07, 23F
→
04/21 00:09, , 24F
簡單來說就是 2^sqrt(2) 從一開始就沒有定義啦
04/21 00:09, 24F
→
04/21 00:09, , 25F
連定義都沒有那要怎麼微分
04/21 00:09, 25F
推
04/21 00:16, , 26F
老師有從無理數次方推到實數次方嗎
04/21 00:16, 26F
→
04/21 00:18, , 27F
除了 x^x 那種, 初微一般比較不會用到實數次方
04/21 00:18, 27F
→
04/21 00:18, , 28F
而且一般處理 x^x 都有先取過 log, 問題就消失了
04/21 00:18, 28F
→
04/21 00:19, , 29F
當然初微有可能還是沒教實數完備性啦
04/21 00:19, 29F
→
04/21 00:20, , 30F
這部分就會有缺漏
04/21 00:20, 30F
→
04/21 00:21, , 31F
實數的完備性不是第0章會教的東西嗎
04/21 00:21, 31F
推
04/21 00:24, , 32F
我修的是有教, 不過不確定是不是普遍都有教
04/21 00:24, 32F
實數完備性在初微就已經設定為已知了吧?? 先有實數完備性之後 才能定義無理數指數吧 有很多條等價路可以走 諸如D大說的 取sup x^q 或是研究 lim (1+x/n)^n (exp的其中一個等價定義) n→∞ 會有這問題 起先只是好奇自己走一遍lim (1+x/n)^n n→∞ 推導一些收斂性與性質 證明過程寫到"a^b , b 實數" 忽然意識到 如果沒有exp 根本還不能寫出a^b b無理數 之後用夾擠避開了這個問題 也證出來exp(x) 然後也定義了指數函數a^b , a>0 ,b€R 然後突然想到x^r的微分 才會有這篇文章XD 目前推斷可能老師是採取 sup x^q這個定義 謝謝以上 ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.236.166), 04/21/2017 01:32:18
推
04/21 01:37, , 33F
其實，(sup x^q)'=sup (x^q)'也是需要證明的。
04/21 01:37, 33F
→
04/21 01:39, , 34F
總覺得比起sup，還是寫lim好一點。
04/21 01:39, 34F
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1O-CVL_T (Math)