[線代] 如何證明對稱矩陣的反矩陣也是對稱?

看板Math作者 (我行我素 我型我塑)時間8年前 (2017/03/19 22:52), 編輯推噓1(1推 0噓 8→)
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假定一個存在反矩陣的對稱矩陣，我應該如何證明其反矩陣也是對稱矩陣? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.171.78.248 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1489935172.A.67A.html
推
03/19 23:01, , 1F
因為A^t=A 所以(A^(-1))^t=(A^t)^-1=A^(-1)
03/19 23:01, 1F
→
03/19 23:24, , 2F
為何(A^(-1))^t = (A^t)^-1 ? 這就是我想知道的
03/19 23:24, 2F
→
03/19 23:28, , 3F
AA^(-1) = I 兩邊同取轉置後利用(AB)^t=B^tA^t
03/19 23:28, 3F
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03/19 23:34, , 4F
A((A^-1)^T)=(A^T)((A^-1)^T)=(AA^-1)^T=I
03/19 23:34, 4F
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03/19 23:34, , 5F
從這可得出(A^-1)^T也是A的反矩陣
03/19 23:34, 5F
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03/19 23:34, , 6F
因為反矩陣唯一所以A^-1=(A^-1)^T
03/19 23:34, 6F
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03/19 23:35, , 7F
感謝Z大指點!
03/19 23:35, 7F
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03/19 23:36, , 8F
也感謝F大詳解!
03/19 23:36, 8F
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03/20 11:12, , 9F
可考慮正交對角化，A=PDP'，P'=P^t
03/20 11:12, 9F
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