微分n次求導函數

看板Math作者 (qaz123123)時間7年前 (2017/03/18 11:33), 7年前編輯推噓4(4推 0噓 9→)
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題目如下： http://i.imgur.com/cWY7Qvp.jpg
他要求使用數學歸納法證明此題 有點看不懂他提示的樣子 而且我慢慢的一次又一次微分 我看不出來有啥規律 感謝各位幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.71.77.107 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1489807990.A.A2E.html
推
03/18 11:58, , 1F
提式是讓你把微分的結果做函數疊合
03/18 11:58, 1F
→
03/18 11:58, , 2F
sin x = e^{ix}
03/18 11:58, 2F
推
03/18 12:01, , 3F
會比較容易看出來規律
03/18 12:01, 3F
→
03/18 12:02, , 4F
這用數規就是把答案 拿來微一次看能不能整理出 n+1
03/18 12:02, 4F
→
03/18 12:02, , 5F
的解
03/18 12:02, 5F
→
03/18 12:03, , 6F
另一個辦法就是樓上推文 再微分再取imaginary part
03/18 12:03, 6F
推
03/18 13:17, , 7F
提示意思是微分會跑出 e^x (sin + cos) (x) 的形式
03/18 13:17, 7F
→
03/18 13:18, , 8F
疊合後又可以變回 sin, 弄成 a f(x + b) 的形式
03/18 13:18, 8F
→
03/18 13:18, , 9F
這樣再微分就好找規律了
03/18 13:18, 9F
推
03/18 14:43, , 10F
數歸只要分別n代0 與 f^n(x)對x微分一次就好了
03/18 14:43, 10F
→
03/18 14:43, , 11F
若要有系統性的做法, 可令
03/18 14:43, 11F
→
03/18 14:45, , 12F
v(x)=[e^(x)*sin(x), e^(x)*cos(x)]^T
03/18 14:45, 12F
→
03/18 14:46, , 13F
可得到線性遞迴 v'=Av, 所以v^n=(A^n)v
03/18 14:46, 13F
感謝以上神人回答！ ※ 編輯: qaz123123 (111.71.77.107), 03/18/2017 20:03:33
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