[分析] Cauchy seq. in a compact set is convg.

看板Math作者 (藍波大人)時間8年前 (2017/03/02 20:38), 8年前編輯推噓3(3推 0噓 5→)
留言8則, 2人參與, 最新討論串1/1
大家好，目前在證明Apostol的Theorem 4.10.，有個環節不懂，請指點一下，感謝! 定理說compact set為complete，根據complete的定義，這就是說在compact set取 的Cauchy sequence會收斂，Apostol的證明分兩部分，第一部分是Cauchy sequence 的值域為finite，第二部分是Cauchy sequence的值域為infinite，第二部分處理掉了 ，就用accumulation point的定理，但第一部分卻怎麼也看不懂，改看說明較詳細的 Theorem 4.8.(我打算處理掉一般的metric space再處理R^n)，這邊說: If T is finite, then all except a finite number of the terms {x_n} are equal and hence {x_n} converges to this common value. 不懂為何如此，不需要用Cauchy sequence的定義及compact set的性質嗎? 那個If跟then之間該填入什麼?謝謝大家! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.88.184 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1488458316.A.258.html
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03/02 20:52, , 1F
只有有限個值，就是說某一項之後的值都一樣
03/02 20:52, 1F
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03/02 20:52, , 2F
i.e., alomost constatnt，所以收斂
03/02 20:52, 2F
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03/02 20:56, , 3F
要用到 Cauchy，let e = min{d(x,y)|x!=y in T}>0
03/02 20:56, 3F
先謝謝你!抱歉，看不懂min{...}的...
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03/02 20:57, , 4F
by def, 存在 N s.t. for all n,m>=N, |x_n -x_m|<e
03/02 20:57, 4F
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03/02 20:58, , 5F
這會得到 x_n = x_m，否則會矛盾於 e 的選取
03/02 20:58, 5F
※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 03/02/2017 23:20:19
推
03/02 23:42, , 6F
@T大的意思是 e = min{d(x,y)|x =/= y in T}
03/02 23:42, 6F
推
03/02 23:49, , 7F
T最多n個不同元素 d(x,y)最多C(n,2)個
03/02 23:49, 7F
謝謝上面兩位，我搞定了。感謝。 ※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 03/05/2017 00:11:15
推
03/06 14:35, , 8F
我一下d一下絕對值，自己都搞糊塗了:P 感謝z大補充
03/06 14:35, 8F
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