Re: [中學] 在平面上2個拋物線可能洽只相交於3點嗎?
※ 引述《Arzelascoli ()》之銘言：
: Math版版友您好 小弟近日因故有這些問題:
: 在平面上2個拋物線可能洽只相交於3點嗎?
: 如果可能 如何有效率地給出2個拋物線的公式作為例子?
: 一個失敗的例子: y=x^2 ("開口朝正上方") 與 x+1=4(y-1/2)^2 ("開口朝正右方")
: The WolframAlpha 計算出此2公式的聯立有4個解(即拋物線有4個交點):
: https://goo.gl/ReiPTt (下方的"Solutions"欄位有4個解 圖能夠顯示清楚)
: 小弟猜想1: 對任何(大的)正實數M而言 y=M*x^2 與 x+1=4(y-1/2)^2 的聯立必有4個解:
: https://goo.gl/Vejmhv (下方的"Solutions"欄位有4個解 圖無法顯示清楚)
: 小弟猜想2: 從 y=x^2 與 x+1=4(y-1/2)^2 出發 旋轉其中一個拋物線到適當的程度後
: 成功的例子就會出現 但是小弟不知如何作 需要請教Math版版友
: 對任何可能的協助指教 小弟先表示誠心感謝!! :-)
來一個嘗試:
以朝上和朝右的兩個拋物線來看
其中一個可能是使向右的拋物線在頂點附近切向上的拋物線
為了方便計算, 固定 y=x^2, 令朝右的是 x-p = 4c(y-q)^2
相切代表: (1) 交點 (x',y') 滿足兩方程式
(2) 在此點的切線斜率相同
(1) 把 y'=x'^2 代入上式就是 x'-p = 4c(x'^2-q)^2 這是個四次式
(2) 先對向上的拋物線微分得 dy/dx = 2x, 代入點座標得斜率 2x'
再對向右的拋物線微分得 dx/dy = 8c(y-q), 代入點座標得斜率 1/(8c(x'^2-q))
也就是 2x' = 1/(8c(x'^2-q)), 整理得 4c = 1/(4x'^3-4qx')
代入上面的四次式得
x'-p = 4c(x'^2-q)^2 = (x'^2-q)^2 / (4x'^3-4qx')
(x'-p)(4x'^3-4qx') - (x'^2-q)^2 = 0
(x'-p)(4x')(x'^2-q) - (x'^2-q)^2 = 0
(x'^2-q)[4x'(x'-p) - (x'^2-q)] = 0
(x'^2-q)(3x'^2 - 4px' + q) = 0
由於 4c 非零, 故 x'^2-q 不為零, 只能有 3x'^2 - 4px' + q = 0
任取 x' = -1 有 3+4p+q = 0 (這個動作即是取定切點, 取 x'=-1 即切在 (-1,1))
於是向右的方程成為 x + (q+3)/4 = (1/(4q-4))(y-q)^2
再回頭跟 y=x^2 解聯立, 因為已知切 (-1,1) 所以 x=-1 至少是聯立方程的二重根
四次式乘開後可以分解為 (x+1)^2 (x^2-2x-2q+3) = 0
於是再取 q = 1.5 (為了消掉 -2q+3; 這其實就是在取頂點, 同時決定大小)
這時有 p = -1.25, 四次式的另外兩根為 0 跟 2
總結起來這樣的取定使得向右的方程為 2x = y^2-3y
可以驗證它和 y=x^2 確實僅交於三點 (-1,1), (0,0), (2,4)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2+AND+2x%3Dy%5E2-3y
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中間的兩個取定 x' 和 q 換取不一樣的值就能得到不同組合
我取這個值是我自己計算方便而已
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いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け 開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢 歪も
ぶ 意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの
く 依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛 だが
ろ 無意味じゃない ラ6あの意図が 恋た
で 有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私 のり
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※ 編輯: LPH66 (180.177.29.238), 02/07/2017 06:43:42
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