Re: [線代] Dual Spaces 兩題 (Friedberg)
Given c_0, ..., c_n,
by (a), f_i defined by f_i(p(x)) = p(c_i) is a basis for V*,
by corollary of 2.26,
{f_0, f_1, ..., f_n} is the dual basis for some basis for V.
(這裡再參考看theorem 2.24跟接著dual basis的定義)
Let {f_0, f_1, ..., f_n} be the dual basis for {p_0, p_1, ..., p_n},
then f_i(p_j) = delta_ij,
but f_i(p_j) = p_j(c_i), thus p_i(c_j) = \delta_ij.
※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言：
: 最近在複習線性代數 順便讀了dual space
: 我用的是 Friedberg那本書(第四版)
: 在寫習題的時候有些地方有點不懂
: 第十題裡面 他說
: (( V^* = dual space of V))
: Let V = P_n(F), and let c_0, c_1, ..., c_n be distinct scalars in F.
: 第一小題沒問題，不過第二小題要用到所以我在這邊提一下
: a) For 0 <= i <= n, define f_i \in V^* by f_i(p(x)) = p(c_i). Prove that
: {f_0, f_1, ..., f_n} is a basis for V^*.
: b) Use the corollary to Theorem 2.26 and (a) to show that there exist unique
: polynomials p_0(x), p_1(x), ..., p_n(x) such that p_i(c_j) = \delta_ij
: for 0 <= i <=n. These polynomials are the Lagrange polynomials.
: b)不知道怎麼做 也不確定跟Theorem 2.26的corollary怎麼連結在一起．懇請指導
: 備註:
: 其中delta_{ij} = 1 if i ==j, 0 otherwise.
: Theorem 2.26 是提到 對於每個x\in V, 我們可以定義一個 x': V^* -> F
: 使得x'(f) = f(x) for every f in V^* 這樣一來 x' 其實是 V^**(double dual space)
: 裡面的一個元素.
: Theorem 2.26 證明了要是我們定義 g(x) = x'的話, g(x) 就是一個isomorphism
: Corollary證明了每個dual space 裡面的ordered basis 都在V裡面有一個對應的basis
: (其實這個Corollary的證明也沒有很懂 希望能夠稍微提點一下)
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