[分析] 有關measurable sets的問題

看板Math作者 (龐加萊)時間9年前 (2016/11/06 22:17), 9年前編輯推噓7(7推 0噓 20→)
留言27則, 6人參與, 最新討論串1/1
各位大大好，想請教一個有關measurable sets的問題。 Given a measurable set A in R, with |A| > 0, then show that: there exists σ > 0 such that for all positive ε < σ, |(A + ε) ∩ A| ≠ 0, where (A + ε) = {x + ε|x is in A}. 目前我的想法是，因為measurable sets可以用G_δ sets來逼近，所以如果證明對於G_δ sets是對的話，應該就做完了。 問題是我弄不出來>< >< 請求各方高人指教>< 謝謝~ -- 名字不會定義一個人，名字只會留在一個人所踏過的足跡裡。 --殺老師 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.211.228 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1478441867.A.B80.html
推
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你的epsilon是作什麼用的？
11/07 00:09, 1F
推
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A+sigma應該都改成A+epsilon?
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推
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這好像和A-A中有一個0的 neighborhood 是一樣的對吧
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？ Steinhous 定理？
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沒錯筆誤，是ε沒錯~ 我來查一下~ ※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 07:11:01
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等價地，你需要去考慮：當\sigma趨近於0時，|(A+\si
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gma)-A|是否也趨近於零
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這件事情不妨先去考慮 A is of finite measure的情
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況
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推
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然後你會發現又可以簡化到open set with finite mea
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sure 的情況
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推
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所以一部分的問題已經完成了，那一般measurable set
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的方面，你知道可以用半徑是正整數的球，把狀況簡
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化成finite measure
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參考我在本版 #1O6rw2cl 的推文
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請問b大 為什麼考慮這個是和原本的等價阿>< 他如果怎麼樣都不會有交集不是不管怎麼 樣都是0嗎? ※ 編輯: Poincare (140.112.51.123), 11/07/2016 14:46:28 請問k大 為什麼可以用finitely many open balls去逼近那個set阿 不是只能用 countably many 多個嗎(G_δ sets)? ※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 15:11:34
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因為 m(A)=inf{m(O): O open, O supset A}
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然後 O 由 finitely many open balls 逼近
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喔喔 好有道理>< 原來可以這樣想~ 謝謝幾位大大幫忙~ ※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 15:23:54
推
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題外話，之前的習題近期就會檢討了，請同學不要著
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急
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樓上該不會也有修測度論吧xD 題外話 我沒有修ww
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推
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不妨考慮bounded，measure finit的A，根據定義你可
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以找一組有限inteval蓋住A讓A的測度比這些inteval的
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4/5還多，根據鴿籠原理，從這些inteval中挑出一個A
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與它交集後測度比它3/4還大的，我們稱這個交集為B,
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現在假設結論為否，我們找的到一個比這個inteval1/4
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還小的數e使B+e與B交集為空，這兩個集合聯集起來的
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測度應為B的兩倍,超過原inteval的6/4,但確只落在5/4
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大小的inteval內，故證否
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