[分析] 怎麼導出尤拉公式最順

看板Math作者 (悟道修行者)時間7年前 (2016/09/23 21:35), 7年前編輯推噓10(10推 0噓 18→)
留言28則, 11人參與, 最新討論串1/1
其實我要問的就是如題所說的那個了 也就是 怎麼引導出尤拉公式最順? 最自然? 最直觀? 當然 尤拉公式在歷史上發現的方式未必是最好、最自然的 現今主流教科書為了寫書方便所採取的脈絡 也未必是最好、最自然的 那麼 比較自然、比較直覺的引導出尤拉公式的方式是什麼呢? 版友覺得自己是喜歡怎麼引出尤拉公式的呢? 我想多聽多參考~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.46.116 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1474637753.A.466.html ※ 編輯: alfadick (114.25.46.116), 09/23/2016 21:39:25
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你說哪一條歐拉公式?
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維基百科"尤拉公式"條目裡的那個(不是Polyhedral Formula) 也就是e^ix=cosx+isinx ※ 編輯: alfadick (114.25.46.116), 09/23/2016 21:41:35
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書上是教泰勒展開
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標題是 for dummies 所以從很基本的東西開始講
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而且目標也只有 e^(πi)=-1, 不過推廣一下是可以的
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泰勒展開式+1
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我們老師說所有的證明都是bull shit...
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不管怎麼證都會有循環論證@@
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看從哪裡開始定義 不可能全都循環論證的
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我覺得它本質是exp(z)的定義,z=x+iy.還是離不開泰勒
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可是要講複指數可以代進 e^x 泰勒展開的 x 裡面, 也要說明為什麼可以 當初導出 e^x 的泰勒, 中間也用到一堆實數分析東西, 這些東西對複數可以用嗎? 如果可以, 全都要先證過一遍
推
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覺得最有趣的是拿隸美弗定理對n微分XD
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(不過有一大堆branch cut的事情要先解決)
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※ 編輯: alfadick (114.25.46.116), 09/24/2016 13:44:38
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用泰勒的方法中，最重要的就是絕對收斂。所以還好，
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是可以很快解決的問題。
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因為複數一開始一種作法就是把一堆 power series
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的東西證過一遍然後用級數定義 e XD
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exp
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推
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我最喜歡這個證法http://imgur.com/PFFRFnz
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覺得泰勒級數的方法應該只能稱為驗證結果....
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樓上這樣要先定義 複數微分 以及 ln z
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這問題的第一步就是要看 exp z 要怎麼定義就是
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推直接先定義exp(z)
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甚至就直接用exp(z)定義sin(z)和cos(z)
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然後才證這些函數在實數時是我們認識的那些
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推
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有人是定 ln(x) 呀XD 不同定法就會有各種有趣證明
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唔 我說的是實數上，複數上我就不清楚了
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複數也可以先定ln(z)沒問題，規定適當的路徑即可。
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analysis continuation
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