[分析] 放寬可微定義有什麼好處嗎

看板Math作者 (悟道修行者)時間9年前 (2016/09/16 23:44), 9年前編輯推噓4(4推 0噓 34→)
留言38則, 5人參與, 最新討論串1/1
通常無論微積分或分析的書都定義實值實變數函數的在c點可微性, 是先要求c要是該函數定義域的 interior point, 然而事實上, 要放寬成 c 是該函數定義域的 limit point 也可以 (當然c也要在定義域裡面) 想請問實用上 這樣比較放寬的定義 有什麼後續應用上的好處嗎~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.141.113.74 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1474040644.A.09A.html
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09/17 01:12, , 1F
理工方面在實際「使用」微積分的時候常常自動忽略
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那個interior point，直接假裝在邊界上的單邊導數和
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裡面的導數是同一種東西
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09/17 01:15, , 4F
我不知道直接完全放寬會不會弄壞什麼病態的特例啦
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09/17 01:16, , 5F
但是我想很多人用的時候根本連這個有差別都不知道
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當然! 這篇文章是問數學系的 XDD ※ 編輯: alfadick (220.141.113.74), 09/17/2016 01:23:52
推
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我的書一開始就定義在limit point上了...
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從函數的極限開始 到連續 再到微分 都是limit point
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啊 連續的定義放更寬 連isolate point都能連續
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09/17 09:12, , 9F
我覺得比起是先定義interior point 不如說
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是因為那個時候還沒提limit point這東西吧（不確定
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理工科的那本連limit point都完全沒提起過
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所有定義都靠metric的距離定義解決
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我手上的高微書 有很多都是在定義極限、連續時 用你說的比較寬版本的定義 比如極限要求limit point, 連續單純只要求c在定義域裡就好 這樣若f在c連續, f在c的極限有可能不存在, 好比c是dom f的isolated point時 但我的這些書 定義導數都是定義在定義域是開區間,c是裡面一個點 (意思也就是要interior point) 沒有放寬版本的 嗚嗚 而且放寬版本的話 像chain rule之類的東西 尤其在邊界上的時候 可能會變得更廣義 更好用(但證明這個chain rule也要更小心一些tricky的情況) 想找這方面的參考 不想自己想.. 你的書是哪本?
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09/17 09:42, , 13F
實用上的話 很多爛函數的極限 沒辦法用open set逼近
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只能取點逼近的情況下 limit point就足夠了吧
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不對 用open set和用point逼近根本沒兩樣...
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嗯 算了 不要理我...
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※ 編輯: alfadick (220.141.113.74), 09/17/2016 10:45:49
推
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解決含有「很難看」函數的實務問題啊 不是什麼函數
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都是課本上漂亮的函數
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你有知道哪本高微書是這樣定義的嗎? 我想參考他後續的相關定理的敘述~~ ※ 編輯: alfadick (220.141.113.74), 09/17/2016 11:26:50
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09/17 15:58, , 19F
那讓我反過來問問微分的，直接把定義推廣到邊界上有
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什麼壞處嗎？
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推
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我之前也是認為很多狀況並不一定是interior point
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而去自己證limit point版本的微分定義與chain rule
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*直接把微分的定義
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不知道 但好像在好比敘述跟證明chain rule的時候 要稍微修改一下 不然不對
推
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你自己跑一次看看可以發現interior首先確保了就是微
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分的唯一性(雖然條件可以不用到interior那麼強) 再
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來就是後來的定理蠻多都利用內點的性質(任何方向夠
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近都會有定義)
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至於好處壞處評斷不出來XD
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XD
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09/17 16:26, , 29F
我只是拿rudin而已...rudin也是定義在區間上
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可是我不會說它只能用在interior point上
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因為拿掉區間之後定義完全是一樣的
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let f be real value function on [a, b]
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fixed x in [a, b], for any t in (a, b), t!=x
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let g(x) = (f(t)-f(x))/(t-x), let f'(x)=lim g(t)
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以上敘述只有那個lim要求x要是個limit point
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其他的都可以改成neighborhood就好
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話說這個定義自動把邊界給算進去了
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※ 編輯: alfadick (220.141.113.74), 09/17/2016 17:00:13
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09/18 03:24, , 38F
學了三年法國數學還沒聽過這樣定義的...
09/18 03:24, 38F
跟國家應該沒什麼關 跟原文書挑哪本才有關吧 ※ 編輯: alfadick (220.141.113.74), 09/18/2016 11:52:29
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