Re: [線代] 一個特殊的矩陣
看板Math作者whenever7963 (Picket Berserker Type-0)時間9年前 (2016/09/03 14:30)推噓2(2推 0噓 1→)留言3則, 1人參與討論串2/2 (看更多)
※ 引述《jjsakurai (Big Time)》之銘言：
: 想請教一下有人知道這樣的矩陣嗎？
: 設矩陣元素 [A]_ij = (a_i*a_j)^1/2
: a_i為實數
: dimension沒有限制
: 這個矩陣從我的了解好像只有一個非0的本徵值
寫寫看不就知道了嗎?
對了 必須得是方陣
An=[aij]nxn, aij=sqrt(ai*aj)
1 sqrt(2) sqrt(3) sqrt(4) ... sqrt(n)
sqrt(2) 2 sqrt(6) sqrt(8) ... sqrt(2n)
sqrt(3) sqrt(6) 3 sqrt(12) ... sqrt(3n)
=[sqrt(4) sqrt(8) sqrt(12) 4 ... sqrt(4n)]
.
.
.
sqrt(n) sqrt(2n) sqrt(3n) sqrt(4n) ... n
當n=2時
1 sqrt(2)
A=[ ]
sqrt(2) 2
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^2-3λ=0
λ=0, 3
當n=3時
1 sqrt(2) sqrt(3)
A=[sqrt(2) 2 sqrt(6)]
sqrt(3) sqrt(6) 3
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^3-6λ^2=0
λ=0, 0, 6
當n=4時
1 sqrt(2) sqrt(3) sqrt(4)
sqrt(2) 2 sqrt(6) sqrt(8)
A=[ ]
sqrt(3) sqrt(6) 3 sqrt(12)
sqrt(4) sqrt(8) sqrt(12) 4
(A-λI)x=0
det(A-λI)=0
λ^4-10λ^3=0
λ=0, 0, 0, 10
解eigenvalueλ的方程式時會發現除了最高次和次高次項以外的項係數均為0
故可以推定對於每一個自然數N
eigenvalueλn=0, 0, 0, ...(n-1個), n*(n+1)/2
是的 只有一個n*(n+1)/2的本徵根
以上
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