[分析] 調和函數gradient為0的點
請問一下 如果f€C^2(A) , A open connected in R^n 是調和函數
則Z={x€A : ▽f(x)=0}有什麼性質的話會使得f常數?? 如何證明??
----------------下面是思考過程----------------
1.很容易用解析函數證明Z如果有內點則f是常數
2.我印象中好像有個敘述是“若f不是常數則Z measure zero in R^n” , 嘗試證明也證
不出, 好像跟Sard定理有關?(但是他是說image of critical point is measure zero,
並非domain)
3.以條件強弱來區分, 如果Z是R^n的子集
Z有內點 => Z 有正的外測度 => Z 有極限點
上面這推論我已經證出來了,所以我猜測定理可以強到如下:
If Z={x€A : ▽f(x)=0} has limit point in A
then f is constant
而以上定理在n=2已經藉由複變證出, 但是高維度的話目前沒轍, 也不確定對不對
(就算知道f是解析函數我也證不出來)
謝謝解惑!
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07/05 16:08, , 1F
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是呀 可是就是因為每個係數不再只是"一個係數"
舉例來說
x u_xx(0,0) u_xy(0,0) x
u(x,y)=u(0,0) +[u_x(0,0) u_y(0,0)][ ] +(1/2)[x y][ ][ ]+..
y u_yx(0,0) u_yy(0,0) y
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跟單變數(R or C)解析函數不一樣
如何處理呢??
※ 編輯: znmkhxrw (36.227.2.157), 07/05/2016 22:50:42
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我昨天其實也造一個trival counterexample
f(x,y,z) = x^2-y^2
所以現在確定"Z有聚點"不夠讓n>=3的調和函數是常數 (n=1,2會是)
至於"Z有正測度"是否能讓調和函數是常數呢??
順帶一提 到底是我聽錯還是真的有這回事阿XDD
"非常數調和函數其gradient為0的點會measure zero"
※ 編輯: znmkhxrw (36.227.2.157), 07/06/2016 00:59:19
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