[中學] 一題函數

看板Math作者 (Tidus)時間9年前 (2016/05/12 15:38), 編輯推噓0(0推 0噓 11→)
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已知一可微分函數f滿足：f(x+y) = f(x) + f(y)，x, y 屬於R。 若f'(0) = 4，則f(x) = ? 這題我知道可以直接假設f(x) = kx，而且高中教過的函數也不多， 不過這題是否還有其他種解呢?? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.115.31.172 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1463038693.A.06A.html
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05/12 16:16, , 1F
這題算是初學微分時常用的進階題型：
05/12 16:16, 1F
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05/12 16:17, , 2F
先算f(0)：f(x+0)=f(x)+f(0)，所以f(0)=0
05/12 16:17, 2F
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05/12 16:18, , 3F
再考慮不是0的y：[f(x+y)-f(x)]/y = [f(y)-f(0)]/y
05/12 16:18, 3F
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05/12 16:19, , 4F
初學微分的話，一定會覺得上面的寫法很眼熟，多看
05/12 16:19, 4F
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05/12 16:20, , 5F
幾眼後可看出就是要取在y→0下的極限
05/12 16:20, 5F
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05/12 16:21, , 6F
所以f'(x)=f'(0)=4，而且隨便一個x都對。
05/12 16:21, 6F
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05/12 16:21, , 7F
最後在 f(x)-4x 身上用MVT(平均值定理)就結束了。
05/12 16:21, 7F
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05/12 16:22, , 8F
說這麼多就是要告訴你，沒有其他解。
05/12 16:22, 8F
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05/12 16:28, , 9F
感謝樓上的詳細解釋
05/12 16:28, 9F
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05/12 23:35, , 10F
至於準不準就是另一回事了 XD
05/12 23:35, 10F
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05/12 23:35, , 11F
啊回錯篇
05/12 23:35, 11F
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