[幾何] 360度的探討

看板Math作者 (Yee)時間9年前 (2016/02/27 12:57), 編輯推噓27(27推 0噓 510→)
留言537則, 14人參與, 最新討論串1/1
關於角度的單位， 最常用的單位是把圓周等分為360等分。 除了360的因數多， 也接近地球繞太陽公轉的週期。 但地球公轉畢竟不是數學因素。 如果要選擇更好的角度單位， 希望常用的特殊角盡可能是整數值， 將圓分割為幾等分較好？ 圓周可以用尺規作圖分為三等分一次， 但無法再三等分下去。 三分之一圓周有簡單的三角函數值。 但再三等分下去就沒有了。 圓周可以用尺規作圖分為五等分一次， 但無法再五等分下去。 五分之一圓周有簡單的三角函數值。 但再五等分下去就沒有了。 超過五的數字實用性不高，不考慮。 至於二等分的尺規作圖與三角函數值， 就沒有限制了。 所以最好的選擇是2^n*3*5 至於360=2^3*3^2*5 3用了兩次。 但只有一次是實用的， 第二次是不實用的。 在三角函數的表中我們看見， 不是3的倍數的角度 其三角函數值要用到複數開三次方根， 這在運算上並不實用。 將圓周等於為240等分是適當的選擇， 480也可以考慮。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 125.227.9.49 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1456549037.A.79B.html
推
02/27 13:39, , 1F
!! 頗有意思!!
02/27 13:39, 1F
推
02/27 14:10, , 2F
我就算把圓定義成361度，尺規還是可以做361/3度角啊
02/27 14:10, 2F
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02/27 14:10, , 3F
這跟是不是定義成360度無關
02/27 14:10, 3F
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02/27 14:24, , 4F
有理論認為選 360 是因為一年只比 360 天稍多之故
02/27 14:24, 4F
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02/27 14:25, , 5F
考慮到古時角度測量幾乎都跟測地/測地球公自轉相關
02/27 14:25, 5F
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02/27 14:25, , 6F
這個理論似乎比你的尺規作圖論還有一些道理
02/27 14:25, 6F
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02/27 15:19, , 7F
ERT312,尺規固然可以作，但361/3不是整數。
02/27 15:19, 7F
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02/27 15:20, , 8F
希望可以作的是整數值，不可以的不是整數也無所謂。
02/27 15:20, 8F
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02/27 15:21, , 9F
數學因素是指純粹從數學理論而來的。
02/27 15:21, 9F
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02/27 15:22, , 10F
不是考慮天體運行等因素。
02/27 15:22, 10F
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02/27 18:42, , 11F
2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12 都可以整除的數字對數值
02/27 18:42, 11F
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02/27 18:42, , 12F
計算來說很方便啊
02/27 18:42, 12F
推
02/27 18:42, , 13F
可以說明一下什麼是常用的特殊角度嗎
02/27 18:42, 13F
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02/27 18:44, , 14F
如果是指應用上的實用 240, 360, 480其實效果差不多
02/27 18:44, 14F
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02/27 18:44, , 15F
因為一般都不會要求到那麼精確
02/27 18:44, 15F
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02/27 18:45, , 16F
如果是理論上的實用 沒有比2pi更適合的了
02/27 18:45, 16F
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02/27 18:47, , 17F
在效果差不多的情況 就會延續傳統繼續使用360了
02/27 18:47, 17F
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02/27 18:47, , 18F
另外一點 角度整數化的實用性在哪裡
02/27 18:47, 18F
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02/27 19:04, , 19F
整數比分數好看好算，對古人來說這就是實用性啊
02/27 19:04, 19F
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02/27 19:18, , 20F
可是古人可不知道一般化的三等分角作不出來啊XD
02/27 19:18, 20F
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02/27 19:20, , 21F
是說以這點來說 360是9的倍數反而變成優勢了
02/27 19:20, 21F
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02/27 20:05, , 22F
這些六十進位的家族又不是幾何獨有的
02/27 20:05, 22F
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02/27 20:09, , 23F
做生意拆帳的時候，任意款項都能被三整除對古人來說
02/27 20:09, 23F
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02/27 20:09, , 24F
是很大的方便啊
02/27 20:09, 24F
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02/27 22:03, , 25F
幾何學上花很多時間去探討的，
02/27 22:03, 25F
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02/27 22:03, , 26F
大部份是那些有漂亮性質的特殊角。
02/27 22:03, 26F
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02/27 22:04, , 27F
這些角度當然希望是整數值才方便。
02/27 22:04, 27F
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02/27 22:05, , 28F
像22.5度其實還有點特殊性，但沒有讓它是整數值；
02/27 22:05, 28F
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02/27 22:06, , 29F
40度沒有什麼幾何上的漂亮性質，卻是整數。
02/27 22:06, 29F
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02/27 22:07, , 30F
顧到些沒有用處的比例，讓數值變大，並沒有好處。
02/27 22:07, 30F
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02/27 22:18, , 31F
物理上有意義的單位我認為只有兩個。
02/27 22:18, 31F
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02/27 22:19, , 32F
一個是圓周，圓周就是一單位；
02/27 22:19, 32F
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02/27 22:20, , 33F
另一個是弳度，圓周是2π單位。
02/27 22:20, 33F
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02/27 22:21, , 34F
至於分割成整數等份的單位，優勢只有一種考量，
02/27 22:21, 34F
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02/27 22:22, , 35F
就是讓特殊角為整數值。
02/27 22:22, 35F
推
02/27 22:33, , 36F
看來只有我有看懂你意思xdd
02/27 22:33, 36F
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02/27 22:34, , 37F
要講這種東西, 有一種分法是把直角分成一百"度"
02/27 22:34, 37F
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02/27 22:34, , 38F
02/27 22:34, 38F
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02/27 22:36, , 39F
軍事上也有依各國不同的 4000/6000/6300/6400 等分
02/27 22:36, 39F
還有 458 則推文
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03/01 19:57, , 498F
你可以試試看 cot(pi/14) - 4sin(pi/7)
03/01 19:57, 498F
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03/01 19:59, , 499F
我個人覺得/7這題比/5漂亮不只十倍
03/01 19:59, 499F
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03/01 20:02, , 500F
放心好了 sin(pi/7)也能寫成radical 只是不能尺規
03/01 20:02, 500F
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03/01 20:05, , 501F
radical就是能用加減乘除 次方和n方根寫成的數
03/01 20:05, 501F
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03/01 21:59, , 502F
這些跟我想要的例子不一樣。
03/01 21:59, 502F
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03/01 22:00, , 503F
例如用和角公式表達正九邊形的面積之類的。
03/01 22:00, 503F
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03/01 22:02, , 504F
還有你說radical能用n(次)方根寫成的數。
03/01 22:02, 504F
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03/01 22:03, , 505F
不過我看只有二次方根有用到而已，
03/01 22:03, 505F
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03/01 22:04, , 506F
如果不考慮複數的高次方根。
03/01 22:04, 506F
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03/01 22:04, , 507F
至於複數的高次方根我覺得也不太實用。
03/01 22:04, 507F
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03/01 22:11, , 508F
cos(θ/n)=
03/01 22:11, 508F
→
03/01 22:11, , 509F
[(cosθ+isinθ)^(1/n)+(cosθ-isinθ)^(1/n)]/2
03/01 22:11, 509F
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03/01 22:11, , 510F
sin(θ/n)=
03/01 22:11, 510F
→
03/01 22:11, , 511F
[(cosθ+isinθ)^(1/n)-(cosθ-isinθ)^(1/n)]/2/i
03/01 22:11, 511F
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03/01 22:12, , 512F
你覺得這兩個公式在幾何上實不實用。
03/01 22:12, 512F
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03/01 23:13, , 513F
我倒沒說它實用 實用的是和角公式XD
03/01 23:13, 513F
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03/01 23:14, , 514F
/7的例子寫成radical一定GG 和角公式可以解決
03/01 23:14, 514F
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03/01 23:15, , 515F
答案也只不過是帶有平方根而已
03/01 23:15, 515F
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03/01 23:16, , 516F
正n邊形的面積不需要和角公式 有半徑就夠了
03/01 23:16, 516F
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03/01 23:16, , 517F
這樣說吧 正九邊形有3種長度的對角線
03/01 23:16, 517F
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03/01 23:17, , 518F
設邊長是a 三條對角線由短至長為b, c, d
03/01 23:17, 518F
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03/01 23:18, , 519F
三條c可組成正三角 另外三條關係為 a + b = d
03/01 23:18, 519F
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03/01 23:19, , 520F
它有漂亮簡潔的幾何證法 代數上就等價於
03/01 23:19, 520F
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03/01 23:20, , 521F
我很早在本篇說過的那個 sin20 + sin40 = sin80
03/01 23:20, 521F
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03/01 23:21, , 522F
你自己還說那是基於和角公式延伸的特例
03/01 23:21, 522F
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03/01 23:22, , 523F
因為這條式子 有10度倍數角度的三角形
03/01 23:22, 523F
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03/01 23:22, , 524F
可以組成很難搞的幾何題目 不會這條公式的話
03/01 23:22, 524F
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03/01 23:23, , 525F
輔助線經常要畫到比原圖還多 才能弄出相似
03/01 23:23, 525F
→
03/01 23:25, , 526F
當然 既然都用這個 實際上就是用三角幹了XD
03/01 23:25, 526F
→
03/01 23:25, , 527F
當然 我不否認20度是靠60度的光環
03/01 23:25, 527F
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03/01 23:26, , 528F
(居然說了兩次) 不然那條只會是普通的托勒密定理
03/01 23:26, 528F
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03/03 07:08, , 529F
我還是感受不出你所謂和角公式的重要性。
03/03 07:08, 529F
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03/03 07:09, , 530F
你只是找出某幾條對角線之間的關係。
03/03 07:09, 530F
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03/03 07:10, , 531F
至少對面積的計算看不出幫助。
03/03 07:10, 531F
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03/03 07:39, , 532F
面積的計算啥都不用啊 (1/2)(a^2)sin(2pi/9)解決
03/03 07:39, 532F
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03/03 07:40, , 533F
你感受不出和角公式重要性要怪誰啊XDD
03/03 07:40, 533F
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03/03 07:40, , 534F
你的幾何就只限定在算面積嗎
03/03 07:40, 534F
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03/03 07:41, , 535F
上面那個面積公式還要乘以9
03/03 07:41, 535F
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03/03 07:42, , 536F
任意正n邊形面積 (pi a^2)[sin(2pi/n)/(2pi/n)]
03/03 07:42, 536F
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03/03 07:43, , 537F
把 n 趨近於無限大 還會引出另一個重要性質
03/03 07:43, 537F
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