Re: [中學] 三角形重心的證明題
※ 引述《charmingc (手工烘焙販售中)》之銘言：
: 請教一題三角形重心的證明
: 過三角形ABC的重心G作直線L分別交線段AB、線段BC、直線AC於D,E,F三點
: 求證：線段GE倒數+線段GF倒數=線段GD倒數
: http://i.imgur.com/t70Qwqj.jpg
網址太長
總之在Yahoo搜尋"重心證明題"
有其面積解法
用孟氏的作法
可整理成以下結果:
連 BG，延長 BG 使其與 CA 交於 H
三角形HBF中
(CF/CH)(3/2)(GE/EF)=1,(2CF/CA)(3/2)(GE/EF)=1
CA/CF=3(GE/EF)...(1)
之後在三角形ABF中
(CF/CA)(AB/BD)(DE/EF)=1 (CF/CA)(AB/BD)[(GD+GE)/EF]=1...(2)
{ , {
[(CF+CH)/AH](AB/BD)(GD/GF)=1 [(2CF+CA)/CA](AB/BD)(GD/GF)=1...(3)
將(3)除去(2)得
[2+(CA/CF)][1-(GE/GF)]=1+(GE/GD)
再代入(1)知
[2+(3GE/EF)][1-(GE/GF)]=1+(GE/GD)
(2EF+3GE)/GF=1+(GE/GD)
(2GF+GE)/GF=1+(GE/GD)
2+(GE/GF)=1+(GE/GD)
1=GE[(1/GD)-(1/GF)]
亦即
1/GD=(1/GE)+(1/GF)
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