Fw: [問卦] 如何證明1+1=2

看板Math作者jameskey (阿帕阿帕)時間8年前 (2015/09/15 01:03)推噓9(9推 0噓 27→)

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※ [本文轉錄自 Gossiping 看板 #1LzlhbtZ ] 作者: co766543 (天厭) 看板: Gossiping 標題: Re: [問卦] 如何證明1+1=2 時間: Tue Sep 15 00:50:41 2015 注意！！文長！！大家好，小弟數學系魯蛇數學看起來是一門既深澳又沒三小屁用的學問每個數學系的人都會被問到：你出來是要當數學老師嗎？(幹！我不能去711打工逆？所以藉著這次1+1=2的冷飯，順便讓大家能稍微了解一下數學系所學以及思路所以當數學系的學生被問到1+1=2如何證明時，下面的步驟應該是數學系學生的起手式，同時也是數學證明的基礎學問 ------------------------------------分隔線----------------------------------------------- 一、所謂1+1是在哪一種背景下的1+1？在這種背景下1+1的意義為何？也就是說，你所謂的1+1是以自然數為背景的1+1，還是有理數、複數、整數等等(注1) 在不同的背景下，意義、答案、證明方法皆有不同舉個例子：如果今天背景(A)只有兩個數 A=｛0、1｝，而A是一個場(filed) 則1+1=0 (先去了解field的定義，再用反正法得證) 回頭看前文的一些敘述，包含1的下幾個元素(elements)或是提到的皮亞諾(Peano)公理或是公設這些敘述就是以正整數或是自然數為背景這個背景是可數的(conutable)同時也是一個ordrerd field(簡單來說就是裡面任兩個元素可以比大小) 那麼1+1的意義是 [比1大的"下個"(next)元素] 同時我們定義這個元素叫做2 特別強調一點是"下個"為何不寫成"下一個"，因為這些背景是可數的，當我們遇到有些集合(set)是不可數的時候，"下一個"的意義變得很模糊，而"next"的概念不再存在(下面還會講到這個) 而皮亞諾公設則是確保了2屬於正整數(or自然數) (此為結論) 講的白話一點，就是說我們在前幾行定義的那個元素2屬於我們正在探討的背景，也就是正整數(or自然數) 在更白話就是 [2他真的存在耶] (撒花) 所以來點小結論： 1、 2是1的下個數字(1+1的意義，然後我們說"1+1"這個元素是2) 2、 2的確存在(2的確在我們討論的事實範圍內) 注1：正整數：1 2 3 4…… 自然數：正整數聯集0 ------------------------------------分隔線----------------------------------------------- 靠杯！！不是證明完了嗎？當然還沒呀!你是瞧不起9.2還是覺得根號2不存在！我們活在的這個世界還是存在著9.2呀!!(我的意思是有理數、無理數等等) 我們要正視9.2存在的問題(靠杯…歪了…) 我們自然所熟悉的是其實是實數(real number system) 無論高中、國中小數學的基礎大多都建立我們接下來要講的實數系二、在實數的系統下，1+1=2怎麼證明？我先公布答案：不用證明！！原因是，實數具有［完備(completeness)性］，在這個性質下1+1=2是自然就成立的事情！！我們從上面的結論來做延伸 1、1+1在實數下的意義：沒錯，又來了，1+1不就是1這個元素的"下個"元素嗎？錯！如果2是1的下個元素的話，1.5哪去了？ 1.25呢？ 1.125呢? 實數是完全不同的系統，是不可數的，如同上面講的，"下個"的概念不見了所以1+1到底是什麼？前面幾篇文章也有提到所謂的"實數線"，所以來一條線 ____________________________________________________________ 這條叫做實數線實數線上有個原點叫做0(或是我們說加法單位元素) ____________________________________________________________ ↑ 這裡是0 數學家說要1(乘法單位元素)，於是就有了1 _____________________________________________________________ ↑ ↑ 這裡是0 這裡是1 好！重點來了，"+1"是什麼？就是1這個元素往後走"一定距離"的那個地方(點)，"+1"的"一定距離"就是［0到1中間的距離］ _____________________________________________________________ ↑ ↑ ↑ 這裡是0 這裡是1 這裡是1+1 然後我們就把1+1的那個點叫做2 如此也會有1+0.5=1.5 1+0.25=1.25等等現在1+1的概念有比較清楚了所以下一個問題就是1+1，也就是2到底屬不屬於實數 2、1+1=2屬於實數嗎？答案是1+1=2的確屬於實數原因就在於實數具有［完備性］也就是說，我只要有一堆數字越來越接近2，而且這堆數字都屬於實數的話，2也屬於實數 (此為結論) 之前上面的理論都沒證明，但是這個理論我會稍為敘述證明的思路所以如何證明R(實數)具有完備性，證明如下： 1、(R,+,‧)是一種場(field)(裡面就包含了乘法、加法單位元素還有運算規則) 2、(R,+,‧,≦)是一種ordered field(如此一來實數可以比大小) 3、(R,｜．｜)是複距空間(metric space) (這樣就有距離的概念了) 4、任一柯西數列在(R,｜．｜)的空間下收斂 5、上面那行收斂的那個數屬於(R,｜．｜) 這樣(R,｜．｜)便是完備的空間另外有些人說我定義的實數跟他定義的實數或許不一樣呀！最後還有一個定理就是只有實數是完備空間，也就是說如果我們定義出兩個看起來不一樣的空間，但是都具有完備性的話，那兩個空間只是符號不一樣，意義跟運算方式都一樣。以上這五點加上最後的定理要證明的話，大概就要花個十幾頁吧，而且我還沒寫中間要經過兩個等價定理Least-upper-bound property跟Monotone sequence property 但是概念差不多是這樣小結論： 1、 1+1的意義就是1加上［0到1之間的距離］的那個點，也就是2 2、 2的確是實數的一部分，因為實數具有完備性 ------------------------------------分隔線----------------------------------------------- OK！只想看結論的看這裡如果討論的背景是正整數(或是自然數)的話 1+1 就是 1的下一個數字，也就是2 因為有皮亞諾公設，2也屬於正整數(或是自然數)，所以1+1=2 如果討論的背景是實數 1+1 就是 1加上［0到1之間的距離］也就是那個叫做2的點因為實數有完備性，所以2也屬於實數，所以1+1=2 以上的敘述就可以很方便的推定到2+1=3 3+1=4等等等所以1+1=2定不是單純的定義，但也不是需要證明的東西在種種公設、定理下，1+1=2比較像是一種必然性質所以如果問：「1+1=2怎麼證明？」就代表數學跟你大概是無緣了類似的問題到了數學系上的考試就會變成：試證實數系統具有完備性在此希望「1+1=2怎麼證明？」這個問題就此打住說真的，沒有任何數學系的人想要深究這個問題！沒有任何人！ ------------------------------------分隔線----------------------------------------------- 最後了，還是要替數學系講些話每每跟人說我是數學系的，總會聽到下面的問句：「你以後是要出來當老師嗎？」是的，我們學出來的東西的確大家看不懂，看似沒有用在商店買東西的確用不到微積分、走路也不用算距離但是無論是大家家裡的手機電腦(離散數學)、地圖導航(圖論、代數)、刷卡匯款(數論、密碼學)、法律(邏輯)等等，都有數學家在背後才能成就的數學家看似在枝微末節上鑽牛角尖，但實際上是在用最沒有例外、最嚴謹的角度去解釋我們的宇宙數學家看事情非常全面，源於數學證明需要有已知(資訊)，然後利用邏輯還有各種不同的等價條件(也就是不同角度)，才能完整的證明一個定理在生活上，我們也會收集資訊，運用邏輯與不同的角度解決問題對於一個在數學系延畢的人來說，我的確對各種定理運用或是一堆專有名詞懵懵懂懂，但是我在數學系學到解決問題的方法還有看事情的角度所以希望大家以後遇到數學系的學生別再問「你會證明1+1=2嗎？」或是「你以後要當老師嗎？」這種蠢問題！！！！！請直接問：「你願意當我的男/女朋友嗎？」(<3)！！！！！！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.32.188.38 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1442249445.A.DE3.html

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Goog1e

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mylo

09/15 00:52, , 2^F

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chasewang

09/15 00:53, , 3^F

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