Re: [微積] 條件收斂

看板Math作者Eliphalet (有冇睇過豬玀公園)時間10年前 (2015/06/24 21:39)推噓3(3推 0噓 3→)

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※ 引述《Philethan (PE)》之銘言： : 各位神人大大，請幫小弟看看我寫得對不對... : Find all valus of p such that the series : inf n ln(n) : sigma (-1) --------- : i = 1 n^p n = 1？ : converges conditionally. : 因為沒有正確答案，所以想問問看各位，我這樣解對嗎o.o 有點沒信心.. : 第一步：取絕對值並使它發散。 : 根據 Integral test，可知 p <=1 時會發散。 a_n := (-1)^n ln(n) n^(-p) 1. 由 divergence test，要收斂的話 p 一定要 > 0 2. 只要 p > 1 一定是絕對收斂，又 0 < p ≦ 1 Σ|a_n| 發散所以 p 的範圍最多不超過 (0,1] 3. 你只需要證明對足夠大的 n , ln(n)/n^p 都是遞減(到0)的就可以使用 alternating series test，亦即，存在 N = N(p) 使得當 n≧N 時， ln(n+1)/(n+1)^p ≦ ln(n)/n^p 考慮 d/dx (x^(-p)ln(x)) = x^(-(p+1))[ 1-pln(x) ] 故當 x > exp(1/p) 時， x^(-p)ln(x) 為遞減所以可以取 N = [exp(1/p)] + 1 ， ∞ N-1 ∞ ln(N+k) Σ a_n = Σ a_n + (-1)^N Σ (-1)^k b_k ， b_k := ----------- n=1 n=1 k=0 (N+k)^p ∞ 由 alternating series test, Σ (-1)^k b_k 收斂 k=0 ∞ => Σ a_n 收斂 n=1 所以 p 的範圍是 (0,1] (應該吧) : 第二步：使用交錯審鍊法，使它滿足收斂的前提（bn >= bn+1 ，lim bn -> 0） : n->inf : ln(n) : 為了滿足 bn >= bn+1 ，必須使 --------- 遞減，因此其一次微分小於零。 : n^p : ln(x) 1 - p * ln(x) : 令 f(x) = ---------，f'(x) = --------------- < 0，由於僅考慮 x>0，所以 : x^p x^(p+1) : 1 : 可得： 1 - p * ln(x) <0，也就是說，p > -------，這裡開始沒信心.. : ln(x) : 因為已知 ln(x) 是遞增函數，所以 ln(2) < ln(3) < ln(4) < .... : 1 1 1 : 所以， ------- > 1 > ------- > ------- > .... : ln(2) ln(3) ln(4) : 由於在第一步已要求 p<= 1，所以此時的 p 必須也比 1 小， : 1 ln(x) : 所以只要 p > -------，那麼在 x > 3 之後，f(x) = --------- 開始遞減。 : ln(3) x^p : 1 : 所以我的答案是， ------- < p <= 1 : ln(3) : 不知這樣對嗎Orz.......這推論有點不穩...感謝各位大大 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.196.202 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1435153177.A.04B.html ※ 編輯: Eliphalet (114.46.196.202), 06/24/2015 21:46:14

推

Philethan

06/24 21:54, , 1^F

06/24 21:54, 1^F

推

Philethan

06/24 21:56, , 2^F

06/24 21:56, 2^F

這有可能發散或收斂，例如收斂 b_n = (-1)^n/n^2 則 Σ (-1)^n b_n = Σ 1/n^2 發散 b_n = (-1)^n/n 則 Σ (-1)^n b_n = Σ 1/n (我知道這例子沒什麼營養 XD)

→

Philethan

06/24 21:57, , 3^F