Re: [中學] 幾題數學求解
※ 引述《kyrieny (kyrie)》之銘言：
: 1.已知O(0,0,0) A(1,2,2) B(-2,2,-1) C(-2,-1,2) 為某一正立方體的四個頂點
: 請問下列選項何者亦為此正立方體之頂點?
: (1) (-1,4,1) (2) (4,1,-1) (3) (-1,1,4) (4)(-3,3,3)
: 小弟的想法是先看看題目給的四個點有多少種長度
: 求出來共有 3 3√2 兩種 大概可以猜測3是邊長 3√2則是斜切的長度
: 所以他是正立方體的其中一個面
: 接下來就是帶入下面的選項到O A B C 四點求長度
: 只要符合上述長度的就可能是正確答案
: 但是總覺得這樣的解法很粗糙
: 不知道各位高手能不能告訴我這樣的算法可能有什麼錯誤
: 順便指點小弟本題的正確解法
: 本題答案為(1)(2)(4)
我是這樣看啦， < OA，OB > = 0，所以邊長 = |OA| = 3
所以頂點總共有
O(0,0,0) ， B(-2,2,-1)，(-1,4,1)，A(1,2,2)
C(-2,-1,2)， (-4,1,1) ，(-3,3,3)， (-1,1,4)
答案是 (1),(3),(4)？
: 2.考慮向量u (a,b,0)、v (c,d,1)，其中 a^2+b^2=c^2+d^2=1。請選出正確的選項。
: (1) 向量v與z軸正向的夾角恆為定值（ 與c 、d 之值無關）
: (2) u v 內積的最大值為2
: (3) u 與 v夾角的最大值為135度
: (4) ad-bc的值可能為5/4
: (5) |u x v|(外積)的最大值為2
: 問題在於選項(5)不知道怎麼著手
: 本題答案為 1 3 5
選項 (5) 不對喔，應該是 √2 吧？
|u x v|^2 = |u|^2 |v|^2 - |<u,v>|^2
≦ 2
: 3.座標空間中四面體A-BCD的頂點分別是A(3,1,2) B(3,5,0) C(0,2,4) D(2,0,6)
: 已知平面E通過線段AB與 線段CD的中點 且A B C D四頂點與平面E等距離
: 求平面E方程式?
AB 中點 (3,3,1) ， CD 中點 (1,1,5)
可令該平面方程式為 a(x-1)+b(y-1)+c(z-5) = 0
其中 a+b-2c = 0
因為 dist(A,E) = dist(B,E)
=> 2a - 3c = - (2a+4b-5c)
=> 2a + 2b + c = 0
所以法向量 (a,b,c) 可取成 (1,-1,0)
所以 E 方程式 x - y = 0
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