一個存在於國中記憶中的難題，求神龍

看板Math作者 (pokoteng)時間10年前 (2015/05/23 00:30), 10年前編輯推噓3(3推 0噓 42→)
留言45則, 3人參與, 最新討論串1/1
我在國中時，和班上另外一位同學喜歡數學，他會把歷年的奧林匹克的數學題目和詳解印 出來，我們就開始找感興趣的題目做。 令我印象深刻的是有一題困難到我們一看完題目就覺得太扯了，世界上怎麼會有這種題目 的存在！而他的解答足足有兩頁！ 當時看到時只覺得太瞎了太難了，現在回想起來，蠻想回去研究研究它的詳解的，但我找 不到當時的題目了，不知道有沒有朋友記得是哪一屆的試題可以告訴我? 題目如下： A和B在玩一個"切起司"的遊戲，遊戲規則如下：有一塊完整的起司，A先切一刀，把起司 切成兩塊，接著換B切，B必須從現在這兩塊中選擇一塊，並把他切成兩塊，再換A從這三 塊起司中選一塊切成兩塊，再換B從這四塊起司中選一塊切成兩塊，最終有五塊起司。接 著A先挑一塊起司，再換B挑一塊起司，再換A挑一塊，再換B挑一塊，再換A挑走最後一塊 起司。假設A和B都想拿到盡量多的起司，且在切起司時他們都能夠精準的切出他們想要的 大小，並且兩人都是數學天才。 試證明在最佳玩法中，A會得到3/5的起司，B會得到2/5的起司 PS 題目中具體的小細節可能有出入，但大體上是不會錯的，如何，挺難的吧？過了十年 我依然記得... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 60.240.176.142 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1432312257.A.168.html
推
05/23 06:31, , 1F
賽局理論啊... 這叫中學生解答是殘忍了點
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05/23 07:28, , 2F
簡單的說 把這五塊起司趙大小排列並編號1～5
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05/23 07:29, , 3F
1 3 5 一定是A拿到的 2 4 則是B拿到的
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05/23 07:30, , 4F
如果五塊都一樣大 則A得到3/5 B得到2/5
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最大塊的必定大於等於1/5 最小塊的必定小於等於1/5
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05/23 07:34, , 6F
最後的論述其實是中間三塊會一樣大
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最大最小塊加起來就是2/5這樣
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我們先討論簡單一點的方式 只有三塊這樣如何?
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05/23 07:37, , 9F
一塊起司先由A切一刀變兩塊 再由B切一刀變三塊這樣
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然後A先選 換B選 最後一塊歸給A
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這時候 都一樣大的狀況下 會是2/3 1/3這樣的分配
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只要有兩塊大於1/3 就相當於B得利了
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反過來說 只要有兩塊小於1/3 這時候就是A得利
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但是 後者的狀況不可能發生 因為最後一刀是由B來切
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也就是說 A的玩法只能是"避免有兩塊大於1/3"
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05/23 07:46, , 16F
這時候 A的這刀只能是切成1/3 2/3這樣的分割
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B不可以選1/3這塊來切 因為再怎麼切都會小於1/3塊
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若是選2/3這塊來切 只要不是剛好一半 一定是大和小
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這時候最大的和最小的會歸給A 中間那塊會給B
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剛好就是2/3 1/3這樣的分配
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如果A一開始不是這樣切 則B就可以有選擇
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如果小的那塊小於1/3 B只要把大的那塊對半切就行
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如果小的那塊大於1/3 這時候B就可以切下一樣的份量
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05/23 07:56, , 24F
例如 2/5 3/5這樣分 B就可以切成2/5 2/5 1/5這樣
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這時候最大最小塊給A 中間那塊給B 相當於B會得利
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...總之 大約照這個思路下去思考就行
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真的要弄完整的論述 文章會更長更長 我也有點懶了
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05/23 08:00, , 28F
切到四刀五塊的情形 也就相當於"輪流做莊"而已
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05/23 08:02, , 29F
論述方式是都差不多啦 哪位大德想整理整篇也行
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推
05/23 08:43, , 30F
解答足足有兩頁不是很正常嗎
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05/23 11:52, , 31F
謝謝J大的回答，我看懂了你切三塊的證明，覺得滿足
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05/23 11:54, , 32F
原來這是屬於賽局理論的範疇阿，這也是我很想知道
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05/23 11:55, , 33F
的，一直很好奇怎麼會有這種類型的題目。
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05/23 12:03, , 34F
我也有看過一點點的賽局理論，知道這是一個相當另類
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05/23 12:06, , 35F
而且尚在開發中的領域，很好奇這題屬於賽局理論中的
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哪一部分，因為我相當好奇如果要用嚴謹的數學方式去
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05/23 12:12, , 37F
研究這題目的話，到底是怎麼做的。
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05/23 12:14, , 38F
J大的解法是屬於哪種即使沒有學過賽局理論，也有可
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05/23 12:17, , 39F
能靈光一閃想到的解法，類似無師自通的感覺，優點是
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淺顯易懂，不過我也想看看如果想系統性的解這類題目
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05/23 12:19, , 41F
的話，到底是怎麼做的？
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※ 編輯: pokoteng (60.240.176.142), 05/23/2015 12:23:25
推
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可以參考零和賽局和分配理論相關的部分
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05/23 16:41, , 43F
不過 這種問題大多都會和直覺的想像結果有差異就是
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想系統性的解決這類問題... 這是大哉問喔
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05/24 07:07, , 45F
知道了，謝謝~~
05/24 07:07, 45F
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