Re: [分析] 請問一題實分析
※ 引述《xu3g4m4 (Lsy)》之銘言：
: Show ∫_{R^n} |f(x+h)-f(x)|^p dx → 0 as h→0, f in L^p(R^n)
: 請問如何證明
: 謝謝
f_h(x):= f(x+h)
1. 已知 C_c(R^n) dense in L^p(R^n)
2. 給定 ε>0， 在 C_c(R^n) 中取 g 使得 ||f-g|| < ε/3
3. 取 B(0;R) 使得 supp(g) ㄈ B(0;R)
因為 g uniformly continuous，取 δ_0 > 0 使得
|g(x)-g(y)| < (ε/3)* (1/|B(0;2R)|)
4. ||g_h-g|| = (∫ |g(x+h)-g(x)|^p dx )^(1/p)
R^n
= (∫ |g(x+h)-g(x)|^p dx )^(1/p)
B(0;2R)
< ε/3 ， 當 |h| < δ:= min{δ_0,R}
5. || f_h - f || ≦ || f_h - g_h || + || g_h - g || + || g - f ||
< ε/3 + ε/3 + ε/3
= ε ， 當 |h| < δ
6. 因此 ， lim ∫ |f(x+h)-f(x)|^p dx = 0
h→0 R^n
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推
05/05 12:55, , 1F
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05/05 22:08, , 2F
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原 PO 的題目不是就有說 f in L^p(R^n) (？)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.217.57), 05/05/2015 22:39:17
推
05/06 07:50, , 3F
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