Re: [幾何] 圓錐曲線的參數式與係數
※ 引述《mingco (東)》之銘言：
: 遇到以下的問題，不知道從何下手，希望各位能指點一下。
: 平面上有一個方程式：
: (A)
: ax^2 -2bxy +cy^2 = 1
: 另
: (B)
: x = cos(t)
: y = sin(t+k)
: k為實數常數，-π/2 < k < π/2
: 1. 對於任意t，(B)滿足(A)的情況下，a、b、c、k的關係式為?
y = cosk x ± sink √[1 - x^2]
y^2 - 2 cosk xy + (cosk)^2 x^2 = (sink)^2 [1 - x^2]
x^2 -2 cosk xy + y^2 = (sink)^2
=> a = c
a : b : 1 = 1 : cosk : [1 - (cosk)^2]
=> a = c
1 = a[1 - (b/a)^2]
=> a = c = [a^2 - b^2]
: 2. 以k來表示(B)曲線圍出來的面積。
要能夠圍出面積來
k =/= 0
此即橢圓
L^2 = (cost)^2 + (sin(t + k))^2
= (cost)^2 + [cosk sint + sink cost]^2
= (cost)^2 + (cosk)^2 (sint)^2 + (sink)^2 (cost)^2 + [sin(2k) / 2]sin(2t)
= 1 + [sin(2k) / 2]sin(2t)
所以所圍面積
= π√[1 - (sin(2k) / 2)^2 ]
= (π/2) √[4 - sin(2k)^2]
: 謝謝大家~!
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