[機統] 關於標準常態分佈的題目

看板Math作者 (B.Duck)時間11年前 (2015/01/17 23:15), 11年前編輯推噓2(207)
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應該很簡單,但離我的年代已久,幫人問問看 Z~N(0,1) show that 1. E(Z^2n)=(2n-1)E( Z^(2n-2) ) 2. E(Z^2n+1)=0 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 120.113.185.71 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1421507715.A.680.html

01/17 23:35, , 1F
Mgf
01/17 23:35, 1F

01/18 00:00, , 2F
Taylor expansion
01/18 00:00, 2F
※ 編輯: pop10353 (120.113.185.71), 01/18/2015 14:00:47

01/18 23:15, , 3F
Mx(t)=Σt^k/k! * E(X^k)
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01/18 23:15, , 4F
並將 Mx(t)=e^(t^2/2) 展開
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比較係數後則解決
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01/19 10:13, , 6F
分部積分.
01/19 10:13, 6F

01/19 10:15, , 7F
∫z^k e^{-z^2/2} dz = -z^{k-1}e^{-z^2/2} +
01/19 10:15, 7F

01/19 10:16, , 8F
(k-1)∫z^{k-2}e^{-z^2/2} dz
01/19 10:16, 8F

01/19 10:17, , 9F
故 E[Z^k] = (k-1)E[Z^{k-2}] 當 k 為大於1之正整數
01/19 10:17, 9F
文章代碼(AID): #1Kkdo3Q0 (Math)