Re: [微積] 求解答
: 在下頭腦很笨，希望能有版友幫忙解答
: 感謝萬分
Q2:y"-5y'+6y=exp(4x)
令y=exp(λx)代入可得 y_h = Aexp(3x)+Bexp(2x)
利用待定係數法
令y_p=aexp(4x)
待入方程式可得 16a-20a+6a=1 => a=0.5
可得y_p=0.5exp(4x)
通解y=y_h+y_p=Aexp(3x)+Bexp(2x)+0.5exp(4x)
Q3: y"+6y'+9y=exp(-4x) y(0)=y'(0)=0
兩端取Laplace轉換 可得
1 1
s^2Y+6sY+9Y= ─── => Y= ──────
s+4 (s+4)(s+3)^2
1 1 1
= ─── - ──── + ───
s+4 s+3 (s+3)^2
上式做Laplace反轉換得 y = exp(-4x)-exp(-3x)+xexp(-3x) 為解
※另解
令y=exp(λx)代入可得y_h =Aexp(-3x)+Bxexp(-3x)
使用待定係數法 令y_p=aexp(-4x) 代入可得a=1 => y_p=exp(-4x)
可得通解y=y_h+y_p = Aexp(-3x)+Bxexp(-3x)+exp(-4x) ------(1)
y'(x) =-3Aexp(-3x)-3Bexp(-3x)-4exp(-4x)------(2)
將y(0)=0代入(1)式, y'(0)=0代入(2)式可得聯立方程式
可解出A、B
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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推
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補一下第一題
xy' + y=xexp(x) 為Euler-Cauchy O.D.E
令x=exp(t) => t=ln(x)
可得xy'=Dy, D=dy/dt
代回原式可得
Dy+y=exp(t)exp[exp(t)]
(D+1)y=exp(t)exp[exp(t)]
通解y_h =Cexp(-t)= C/x , C為常數
1 1
特解y_p= ── exp(t)exp[exp(t)]=exp(t) ───exp[exp(t)]
D+1 D+2
=exp(t)exp(-2t)∫exp(2t)exp[exp(t)]dt
=exp(-t)∫(...)dt
1
=(1/x)∫x^2 exp(x)* ── dx
x
=(1/x)∫xexp(x)dx
=(1/x)[xexp(x)-exp(x)]
可得y=y_h+y_p = (1/x)[C+xexp(x)-exp(x)]為解
※ 編輯: Heaviside (111.185.128.190), 01/13/2015 09:47:19
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