Re: [中學] 音階與數學的指數關係

看板Math作者wohtp (會喵喵叫的大叔)時間11年前 (2015/01/07 01:32)推噓7(7推 0噓 40→)

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　　其實，音階跟指數本來是毫無關係的... 　　事實一：音波的頻率越大，人耳所聽到的的聲調感覺也越高。　　事實二：給定兩個不同來源的音波，兩者頻率越接近簡單的整數比，人類聽眾就越覺得兩個聲音很和諧。反之，人類會覺得聲音聽起來在打架。　　以上兩點跟聲波的物理性質無關，跟我們的大腦怎麼運作有關。知道這兩點以後，我們就可以問：把哪些不同的頻率放在一起會讓我們覺得悅耳？　　注意到上面講的第二點，聲調調和與否只跟頻率比例有關，所以在「低得聽不見」和「高得受不了」這兩個極端之間，我們可以自由選擇基礎頻率。這裡為了數字簡單漂亮起見，我們把主音(tonic，Do)的頻率訂為400 Hz。　　最簡單的整數比是 1:2，所以800 Hz的聲音跟400 Hz會處得非常好。　　仔細看看這兩個數字。400 Hz的意思是，這個音波的波形每 1/400 秒會重複。800 Hz 的週期固然是 1/800 秒，但是它當然每 1/400 秒也會重複。所以這兩個音調聽起來在某種意義上應該十分相似。　　事實上，800 Hz 比 400 Hz 高了八度，也就是中央 Do 和高八度的 Do 的差別。就說它們聽起來「一樣」吧。　　下一個比例是 2:3:4，所以在中間可以塞一個 600 Hz 進去。這是 Sol。　　把八度音階唱一遍，在兩個 Do 之間的聲調，Sol 是不是感覺最穩重最和諧呢？這就是原因啦，因為它和主音的頻率比是最單純的。　　接下來我們有 3:4:5 和 4:5:6，不過這兩個比例給出的是同一個音。把 500 Hz 和高上八度（兩倍）的 1000 Hz 放進音階裡面，這是 Mi。　　Do-Mi-Sol 這個和弦是 4:5:6，Sol-Do-Mi 則是 3:4:5。所以我們會覺得和弦好聽。　　重複以上步驟，我們可以得到一系列聽起來互相調和的聲調。西洋音樂找到七個音調以後就沒有繼續下去，這就是我們熟悉的大調音階： Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do 其旋律比是： 8:9:10:11:12:13.5:15:16 　　這一類的古典調律法因為和弦特別好聽，所以到現代還是常用在acapella 之屬，仰賴大量合聲的音樂裡面，但是一般的音樂早八百年都已經改用十二平均律了。　　（好吧，八百年是誇飾，中國和歐洲大概都是在四百年前改變的。）　　要是你對十二平均律有一點點認識，也就知道除了八度以外，現代的音階裡面根本沒有整數比。這又是什麼黑魔法？　　首先我們來看看「簡單整數比」的壞處在哪裡。　　假設你是某大牌歌手的專屬伴奏。在公演之前，該大牌在後台突然跑去找你，說她今天喉嚨狀況不好，希望等下第一、三、十二、十四這幾首比較高的曲子降個音，其他則維持原狀就好。　　「反正就是Mi變成Re，Re變成Do嘛，難不倒你這個職業的吧？」　　假設你是很有風骨的那種人，這一聽當場翻桌了，阿淦哪有你說得那麼簡單的啦。Re和Mi是9:10，Do和Re是8:9，根本不能互換啊！要轉調每根琴弦都要重新調音過！你叫我在舞台上調過去又調回來嗎？　　是的，問題就出在這裡了。假設我們把上面例子的400 Hz叫做X，X大調各音調的頻率是 400-450-500-550-600-675-750-800 　　比X大調高一個音的Y大調卻是 450-506.25-562.5-618.75-675-759.375-843.75-900 　　當然這樣拉高音調有些地方會差半音，但是其他根據現代樂理（以及十二平均律）不會有差的地方，也出現了微妙的不同。例如450 Hz上面的音調不是500 Hz而是506.25Hz。這就是 8:9 和 9:10 的差別。　　音樂史上還有很多不同的調律法，目的大都是讓（部分）轉調變得可能。例如畢哥達拉斯發明的這個比例：　　8 : 9 : (10 + 1/8) : (11 - 1/3) : 12 : 13.5 : (15 + 3/16) : 16 　　好處是 Do-Re，Re-Mi，Fa-Sol，Sol-La，La-Si 都是 8:9，所以可以做出有限制的轉調，但是碰到 Mi-Fa 和 Si-Do還是會破功。　　只要我們還堅持整數比，完全自由的轉調就不可能。　　上面畢老的這個音階，相鄰的兩個音比值不是 8:9（大步）就是 243:256 （小步）。然後我們發現一件有趣的事：　　(256/243)^2 ~ 9/8 (9/8)^6 ~ 2 　　一個八度大約等於六大步，一大步大約等於兩小步。　　於是終於有人想到了：去他的整數比，直接切成十二等分吧，反正都嘛差不多。　　令 a = 2^(1/12)，以 f 為基礎頻率的七聲大調音階就變成：　　f - f * a^2 - f * a^4 - f * a^5 - f * a^7 - f * a^9 - f * a^11 - f * 2 - ... 　　要高一個音？簡單，基礎頻率換成 (f * a^2) 就好：　　(f * a^2) - (f * a^2) * a^2 - (f * a^2) * a^4 - (f * a^2) * a^5 - ... 　　每一個調性的每一個音都是 (f * a^n) 這樣的型式，所以轉調不再需要重新調音了！　　我們得到任意轉調的自由，但是原來漂亮的整數比已經不見了。如果有哪個十五世紀或更早的音樂家穿越過來聽到現代音樂，一定會覺得我們的樂器全部都微妙的走調。但是對於現代音樂家，尤其是那些一首歌不轉調七次不過癮的J-Pop作曲家來說，這大概只是小小的犧牲吧。 -- 你喜歡下列哪一個學妹？ 1. 雖然吉他彈得比學姊好，在樂團裡卻甘願只當個副手 2. 擁有夏天一到必然黑化的體質，連同學好友都認不出來 3. 雖然嘴巴很嚴厲，但只要用甜點就可以收買，尤其喜歡鯛魚燒 4. 討厭學姊給她取的奇怪綽號，卻給小貓取了同一個名字 5. 極力維持自己嚴肅的形象，但是一戴上貓耳就會不自覺喵喵叫 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.246.232 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420565528.A.D71.html

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