[線代] vandermonde 矩陣證明

看板Math作者howardgj94 (飄飄渺渺所為誰)時間9年前 (2014/09/16 20:26)推噓1(1推 0噓 20→)

留言21則, 3人參與討論串1/1

大家好，最近念線代，讀到了vandermonde的証明，因為我的書是研所補習班整理的書，我覺得它用的方法不夠嚴謹，想請問這個証明方法在數學上OK嗎? 証 Det Ak = 丌1<=j<=i<=k(連乘) (xi-xj) http://goo.gl/vaw0ko 這是該書上的証明方式。依我的了解，它的主要步驟如下: 1. 將vandermonde矩陣用函數表逹，其中矩陣的最後一列為函數的自變數。 2. 根據列運算的定理，兩列相等determine為0，可以得到 X1=X2=........=Xn-1 是為方程的根則函數可達為: f(x) = (x-X1)(x-X2)......(x-Xn-1) 3. 接著必需判斷常數項。因為函數表達方式為最後一列展開進行降階法所以可知最後一行最後一列的常數項為，去掉最後一行最後一列的行列式Cn-1，而將整理過的方程展開，可知x^n-1次常數為1，得知常數項應乘以Cn-1 4. 因為Cn-1剛好是f(Xn - 1)，所以利用遞迴可得証。而 proof wiki的証明，我覺得較直觀 https://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant proof 1 方法主要是用列運算，將第一行及第一列化為0 則透過determine定理，可發現可提出丌k=2 to n(xk-x1)，而後面的矩陣用降階運算，剛好又是Vn-1，所以遞迴可得証。 ---------------------------------------------------------------------------- 我的問題是，第一種証明法，以函數根的角度下去推導，在2 及 3 的方程式運算雖邏輯感覺沒問題，感覺還是假設，沒有數學定理support 那麼這個証明是否就不好感覺像wiki或第一個網站，寫成規納証明就合理多了。怕我敘述或理解部分有錯，附上書本上的證明原文 https://www.flickr.com/photos/127894695@N08/15234279616/in/photostream/ https://www.flickr.com/photos/127894695@N08/15256891632/in/photostream/ 夠長就不縮了感謝大家! --

推

yspen

03/20 17:58,

03/20 17:58

→

mico409

03/20 18:00,

03/20 18:00

→

aganqq

03/20 18:01,

03/20 18:01