[機統] 請問一題統計
We consider a random sample X1,X2,...,Xn from a distribution with pdf
f(x;θ) = (1/θ)exp(-x/θ) , 0<x<無限大 , zero elsewhere , where 0<θ.
Possibly , in a life-testing situation, however ,
we only observe the first r order statistics Y1<Y2<...<Yr.
(a) Record the joint pdf of these order statistics and denote it by L(θ).
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(b) Under these conditions, find the mle, θ, by maximizing L(θ).
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(c) Find the mgf and pdf of θ.
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(d) With a slight extension of the definition of sufficiency, is θ a
sufficient statistic?
(a)(b)小題已算出答案：
r
(a) [n!/(n-r)!][1/(θ^r)]exp[(-1/θ)(Σ yi + (n-r)yr)]
i=1
r
(b) (Σ yi + (n-r)yr)/r
i=1
想問(c)(d)這兩個小題
(c)小題完全不會算
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(d)小題我的想法是，用(a)和(c)算出來的結果，看f(y1,y2,..,yr;θ)/[pdf of θ]
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如果最後跟θ無關，則θ是充份統計，不知道這樣對不對?
我還有另一個想法，就是直接將(a)小題的[Σ(i=1~r)yi + (n-r)yr]這部份，
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換成rθ，則整個式子會變成只用θ和θ表示，沒有其他y出現，
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然後根據分解定理(Neyman)，可知θ是充份統計。這樣對嗎?
但如果是用第二種想法，這樣(c)小題好像就沒意義了...
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